Trong hình học phẳng, việc xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng, đặc biệt là giữa hai đường thẳng, là một bài toán cơ bản và quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp để xác định Vị Trí Tương đối Là Gì giữa hai đường thẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Các Khái Niệm Cơ Bản Về Vị Trí Tương Đối
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng có thể thuộc một trong ba trường hợp sau:
- Cắt nhau: Hai đường thẳng có một điểm chung duy nhất.
- Song song: Hai đường thẳng không có điểm chung nào.
- Trùng nhau: Hai đường thẳng có vô số điểm chung (thực chất là cùng một đường thẳng).
Phương Pháp Xác Định Vị Trí Tương Đối
Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0. Ta có các phương pháp sau để xác định vị trí tương đối là gì:
Cách 1: So Sánh Tỉ Lệ Các Hệ Số
Phương pháp này thường được sử dụng khi các hệ số a1, b1, c1 đều khác 0.
-
Nếu thì d1 ≡ d2 (hai đường thẳng trùng nhau). Trong trường hợp này, mọi điểm nằm trên đường thẳng d1 cũng nằm trên đường thẳng d2, và ngược lại.
-
Nếu thì d1 // d2 (hai đường thẳng song song). Điều này có nghĩa là hai đường thẳng không có điểm chung và có cùng hệ số góc (nếu có).
-
Nếu thì d1 cắt d2 (hai đường thẳng cắt nhau). Trong trường hợp này, hai đường thẳng có duy nhất một điểm chung.
Cách 2: Giải Hệ Phương Trình
Phương pháp này dựa trên việc tìm số lượng nghiệm của hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng.
-
Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:
-
Nếu hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 2 đường thẳng cắt nhau. Nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
-
Nếu hệ phương trình trên có vô số nghiệm thì 2 đường thẳng trùng nhau. Điều này có nghĩa là mọi điểm thỏa mãn phương trình của đường thẳng này cũng thỏa mãn phương trình của đường thẳng kia.
-
Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì 2 đường thẳng song song. Điều này có nghĩa là không có điểm nào thuộc cả hai đường thẳng.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối là gì của hai đường thẳng d1: x – 2y + 1 = 0 và d2: -3x + 6y – 10 = 0
Lời giải:
Ta có:
⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối là gì của hai đường thẳng d1: 3x – 2y – 6 = 0 và d2: 6x – 2y – 8 = 0.
Lời giải:
⇒ d1, d2 cắt nhau nhưng không vuông góc.
Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng a: 3x + 4y + 10 = 0 và b: (2m – 1)x + m²y + 10 = 0 trùng nhau?
Lời giải:
Hai đường thẳng a và b trùng nhau khi và chỉ khi:
= 1
⇔ m = 2
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Xác định vị trí tương đối là gì của 2 đường thẳng sau đây: (a) : x – 2y + 1 = 0 và (b): – 3x + 6y – 1 = 0
Lời giải:
Đường thẳng a có vtpt n1→ = (1; -2) và (b) có vtpt n2→ = (-3; 6) .
Hai đường thẳng a và b có: nên hai đường thẳng này song song.
Câu 2: Hai đường thẳng (a) : mx + y = m + 1 và (b): x + my = 2 song song khi và chỉ khi:
Lời giải:
Để hai đường thẳng a và b song song với nhau khi và chỉ khi :
⇔ m = – 1
Kết Luận
Việc xác định vị trí tương đối là gì giữa hai đường thẳng là một kỹ năng quan trọng trong hình học giải tích. Bằng cách nắm vững các phương pháp so sánh tỉ lệ hệ số và giải hệ phương trình, bạn có thể dễ dàng xác định được mối quan hệ giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan.
