Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức chi tiết về Vị Trí Tương đối Của đường Thẳng Và Mặt Phẳng trong không gian Oxyz, cùng với các phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Các Trường Hợp Vị Trí Tương Đối
Cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0, y_0, z_0)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}(a, b, c)$, và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$.
Gọi $overrightarrow{n}(A, B, C)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Có ba trường hợp vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
- Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P): Đường thẳng và mặt phẳng có một điểm chung duy nhất.
- Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P): Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung.
- Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): Tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
- Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): Đường thẳng cắt mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Phương Pháp Xác Định Vị Trí Tương Đối
Có hai phương pháp chính để xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cách 1: Sử Dụng Tích Vô Hướng và Thay Tọa Độ
- Tính tích vô hướng $overrightarrow{n} cdot overrightarrow{u}$:
- Nếu $overrightarrow{n} cdot overrightarrow{u} neq 0$, đường thẳng d cắt mặt phẳng (P). Đặc biệt, nếu $overrightarrow{n} = koverrightarrow{u}$, đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
- Nếu $overrightarrow{n} cdot overrightarrow{u} = 0$, đường thẳng d song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P).
- Thay tọa độ điểm $M_0$ vào phương trình mặt phẳng (P):
- Nếu $M_0$ thuộc (P) (tức là $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$), đường thẳng d nằm trong (P).
- Nếu $M_0$ không thuộc (P) (tức là $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D neq 0$), đường thẳng d song song với (P).
Hình ảnh minh họa vị trí tương đối giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, biểu diễn mối quan hệ song song, vuông góc, và cắt nhau.
Cách 2: Sử Dụng Phương Trình Tham Số
-
Viết phương trình tham số của đường thẳng d:
$$begin{cases}
x = x_0 + at
y = y_0 + bt
z = z_0 + ct
end{cases}$$ -
Thay x, y, z từ phương trình tham số vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (P): $A(x_0 + at) + B(y_0 + bt) + C(z_0 + ct) + D = 0$. Rút gọn phương trình về dạng $mt + n = 0$ (1).
-
Xét số nghiệm t của phương trình (1):
- Nếu (1) vô nghiệm, đường thẳng d song song với (P).
- Nếu (1) có một nghiệm $t = t_0$, đường thẳng d cắt (P) tại điểm $M(x_0 + at_0, y_0 + bt_0, z_0 + ct_0)$.
- Nếu (1) có vô số nghiệm, đường thẳng d nằm trong (P).
- Nếu (A; B; C) = k (a; b; c), đường thẳng d vuông góc với (P).
Hình ảnh mô tả các trạng thái khác nhau về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d: begin{cases} x = 1 + 2t y = 2 + 4t z = 3 + t end{cases}$ và mặt phẳng $(P): x + y + z + 2 = 0$.
Giải:
Đường thẳng d đi qua $M_0(1, 2, 3)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}(2, 4, 1)$. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(1, 1, 1)$.
Ta có: $overrightarrow{n} cdot overrightarrow{u} = 2 + 4 + 1 = 7 neq 0$. Vậy d cắt (P).
Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $d: begin{cases} x = 1 + t y = 1 z = -1 – 2t end{cases}$ với mặt phẳng $(P): x + 2z – 7 = 0$.
Giải:
Đường thẳng d đi qua điểm $A(1, 0, -1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}(1, 0, -2)$. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(1, 0, 2)$.
Ta có: $overrightarrow{n} cdot overrightarrow{u} = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 + (-2) cdot 2 = 0$. Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) vì $1 + 2(-1) – 7 = -8 neq 0$. Vậy d song song với (P).
Ví dụ 3: Cho đường thẳng $d: begin{cases} x = 1 + 2t y = -1 + t z = -t end{cases}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y + z – 1 = 0$. Tìm mệnh đề đúng?
Giải:
Thay x, y, z vào phương trình tổng quát của (P) ta có: $(1 + 2t) + 2(-1 + t) + (-t) – 1 = 0 Leftrightarrow 3t – 2 = 0 Leftrightarrow t = frac{2}{3}$.
Phương trình có 1 nghiệm $t = frac{2}{3}$. Vậy d cắt (P) tại điểm $M(frac{7}{3}, -frac{1}{3}, -frac{2}{3})$. Điểm này có hoành độ $frac{7}{3}$ và tung độ $-frac{1}{3}$.
Hình ảnh minh họa phương pháp tìm tọa độ giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng cách giải hệ phương trình.
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng $d: begin{cases} x = 2 + t y = -3 + t z = 1 end{cases}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 4 = 0 và đường thẳng $d: begin{cases} x = 1 + t y = 1 + 2t z = 2 – 3t end{cases}$. Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
Câu 3: Cho đường thẳng $d: begin{cases} x = mt y = -1 – 4t z = -1 + 2t end{cases}$ và mặt phẳng (P): mx – 4y + 2z – 2 = 0. Tìm giá trị của m để đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P).
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tìm k để đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2kx + y – z + 1 = 0, (Q): x – ky + z – 1 = 0 nằm trong mặt phẳng (Oyz).
Bài 2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d): $ begin{cases} x = a y = 2 – 2t z = -1 + t end{cases}$ và mặt phẳng (P): x + 2y – 4z + 1 = 0.
Bài 3. Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d): $frac{x+1}{2} = frac{y-3}{4} = frac{z}{3}$ và mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – 5 = 0.
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 4 = 0 và đường thẳng $d: frac{x-m}{1} = frac{y+2m}{3} = frac{z}{2}$. Với giá trị nào của m thì giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) thuộc mặt phẳng (Oyz)?
Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + my – 3z + m – 2 = 0 và đường thẳng $d: begin{cases} x = 2 + 4t y = 1 – t z = 1 + 3t end{cases}$. Với giá trị nào của m thì d cắt (P)?
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
