Trong hình học không gian Oxyz, khái niệm vecto pháp tuyến đóng vai trò quan trọng trong việc xác định phương trình mặt phẳng và giải quyết nhiều bài toán liên quan. Bài viết này sẽ tập trung vào việc xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy), cùng với các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Vecto Pháp Tuyến là Gì?
Vecto pháp tuyến của một mặt phẳng là một vecto vuông góc với mặt phẳng đó. Nó được sử dụng để xác định hướng của mặt phẳng trong không gian.
Vecto Pháp Tuyến của Mặt Phẳng (Oxy)
Mặt phẳng (Oxy) là mặt phẳng tọa độ chứa trục Ox và trục Oy. Phương trình của mặt phẳng (Oxy) có dạng:
z = 0Từ phương trình này, ta có thể suy ra vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là vecto có dạng:
n = (0; 0; 1)Vecto này vuông góc với mọi vecto nằm trong mặt phẳng (Oxy).
Hình ảnh minh họa vecto pháp tuyến k (0,0,1) vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy trong không gian Oxyz.
Lý do:
- Mọi điểm trên mặt phẳng (Oxy) đều có tọa độ z = 0.
- Vecto (0; 0; 1) chỉ có thành phần z khác 0, do đó nó vuông góc với mọi vecto có thành phần z = 0, tức là mọi vecto nằm trên mặt phẳng (Oxy).
Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
Giải:
Như đã trình bày ở trên, vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là n = (0; 0; 1).
Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 2; 0) và B(3; 4; 0). Chứng minh rằng đường thẳng AB nằm trên mặt phẳng (Oxy).
Giải:
- Vecto AB = (3-1; 4-2; 0-0) = (2; 2; 0).
- Vì thành phần z của vecto AB bằng 0, nên vecto AB nằm trên mặt phẳng (Oxy).
- Hơn nữa, điểm A và B đều có tọa độ z = 0, nên chúng nằm trên mặt phẳng (Oxy).
- Vậy, đường thẳng AB nằm trên mặt phẳng (Oxy).
Ứng Dụng của Vecto Pháp Tuyến trong Các Bài Toán
- Viết phương trình mặt phẳng: Biết một điểm thuộc mặt phẳng và vecto pháp tuyến, ta có thể viết phương trình mặt phẳng.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vecto pháp tuyến của chúng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Sử dụng công thức khoảng cách dựa trên vecto pháp tuyến và tọa độ điểm.
- Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng: Sử dụng vecto pháp tuyến để xác định phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Bài Tập Vận Dụng
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2; -1; 3) và song song với mặt phẳng (Oxy).
- Tính khoảng cách từ điểm N(1; 1; 5) đến mặt phẳng (Oxy).
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(4; -2; 1) lên mặt phẳng (Oxy).
Kết luận
Hiểu rõ về vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian. Nắm vững kiến thức này giúp chúng ta dễ dàng hơn trong việc xác định phương trình mặt phẳng, tính khoảng cách và giải quyết nhiều vấn đề khác liên quan đến hình học Oxyz. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và chi tiết về chủ đề này.