Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định và sử dụng Vecto Pháp Tuyến Của Mặt Phẳng Oyz là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ và chi tiết về vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz, cùng với các ứng dụng và ví dụ minh họa.
Vecto Pháp Tuyến Của Mặt Phẳng Oyz Là Gì?
Mặt phẳng Oyz là mặt phẳng tọa độ vuông góc với trục Ox. Nó chứa trục Oy và trục Oz. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là một vecto vuông góc với mặt phẳng này. Vì mặt phẳng Oyz vuông góc với trục Ox, vecto pháp tuyến của nó sẽ cùng phương với trục Ox.
Một vecto pháp tuyến đơn giản và thường được sử dụng cho mặt phẳng Oyz là:
$$overrightarrow{n} = (1, 0, 0)$$
Bất kỳ vecto nào cùng phương với vecto này (ví dụ: (k, 0, 0) với k ≠ 0) cũng là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz.
Ứng Dụng Của Vecto Pháp Tuyến Của Mặt Phẳng Oyz
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học không gian, bao gồm:
-
Viết phương trình mặt phẳng song song hoặc vuông góc với mặt phẳng Oyz:
- Nếu một mặt phẳng song song với mặt phẳng Oyz, nó sẽ có cùng vecto pháp tuyến (hoặc vecto cùng phương).
- Nếu một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oyz, vecto chỉ phương của đường thẳng đó sẽ cùng phương với vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz.
-
Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng Oyz:
- Biết vecto pháp tuyến, ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng Oyz. Giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng Oyz là hình chiếu của điểm.
-
Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Oyz:
-
Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng Oyz (x = 0) là:
$$d(M, (Oyz)) = |x_0|$$
-
-
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Oyz:
- Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, trong đó có sử dụng vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2, -1, 3) và song song với mặt phẳng (Oyz).
Giải:
Vì (P) song song với (Oyz), vecto pháp tuyến của (P) là $overrightarrow{n} = (1, 0, 0)$. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
1(x – 2) + 0(y + 1) + 0(z – 3) = 0
x – 2 = 0
x = 2
Ví dụ 2: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm B(5, 2, -1) lên mặt phẳng (Oyz).
Giải:
Đường thẳng d đi qua B và vuông góc với (Oyz) có vecto chỉ phương $overrightarrow{u} = (1, 0, 0)$. Phương trình tham số của d là:
x = 5 + t
y = 2
z = -1
Giao điểm của d và (Oyz) (x = 0) là:
5 + t = 0 => t = -5
Vậy hình chiếu của B lên (Oyz) là điểm (0, 2, -1).
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 2y – z+10= 0 và (β): 2x+2y – 3z – 40= 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và song song với đường thẳng Δ là
Giải:
Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến $overrightarrow{n_α} = (1; -2; -1)$
Mặt phẳng (β ) có vec tơ pháp tuyến $overrightarrow{n_β} = (2; 2; -3)$
Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là $overrightarrow{u} = [overrightarrow{n_α}, overrightarrow{n_β}] = (8; 1; 6)$
Vậy phương trình của d là: $frac{x-2}{8} = frac{y-3}{1} = frac{z-1}{6}$
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) cho mặt phẳng (P): 2x- y+ 2z- 3= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; -3; -1 ), song song với hai mặt phẳng ( P) và ( Oyz) là.
Giải:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_P} = (2; -1; 2)$
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0 nên có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_{Oyz}} = (1; 0; 0)$
Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -3; -1) và có vectơ chỉ phương là $overrightarrow{u} = [overrightarrow{nP}, overrightarrow{n{Oyz}}] = (0; 2; 1)$
Vậy phương trình của d là $frac{x-2}{0} = frac{y+3}{2} = frac{z+1}{1}$
Các Dạng Bài Tập Thường Gặp
- Bài toán viết phương trình mặt phẳng: Sử dụng vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz để xác định phương trình mặt phẳng song song hoặc vuông góc với (Oyz).
- Bài toán tìm hình chiếu: Tìm hình chiếu của điểm hoặc đường thẳng lên mặt phẳng Oyz.
- Bài toán tính khoảng cách và góc: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Oyz, hoặc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Oyz.
- Bài toán liên quan đến giao tuyến: Tìm giao tuyến của mặt phẳng Oyz với các mặt phẳng khác và viết phương trình đường thẳng giao tuyến.
Lưu Ý Khi Giải Toán
- Luôn nhớ rằng vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là (1, 0, 0) hoặc bất kỳ vecto nào cùng phương với nó.
- Khi viết phương trình mặt phẳng song song với (Oyz), chỉ cần xác định giá trị x.
- Khi tìm hình chiếu, đảm bảo rằng đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với (Oyz).
- Sử dụng công thức khoảng cách và góc một cách chính xác.
Kết Luận
Hiểu rõ về vecto pháp tuyến của mặt phẳng Oyz và các ứng dụng của nó là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian. Bằng cách nắm vững lý thuyết và thực hành các ví dụ minh họa, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết các bài tập liên quan đến mặt phẳng Oyz và các yếu tố hình học liên quan.
