Vecto Pháp Tuyến Của đường Thẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt khi nghiên cứu về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về vecto pháp tuyến, từ định nghĩa, phương pháp tìm kiếm, đến các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Định Nghĩa Vecto Pháp Tuyến của Đường Thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0.
Vecto pháp tuyến của đường thẳng d, ký hiệu là n→, là vecto có tọa độ (a; b). Như vậy, n→ vuông góc với mọi vecto chỉ phương của đường thẳng d.
Phương Pháp Tìm Vecto Pháp Tuyến
Từ phương trình tổng quát của đường thẳng, ta có thể dễ dàng xác định được vecto pháp tuyến của nó. Cụ thể:
- Đường thẳng d: ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến là n→(a; b).
Cần lưu ý rằng, một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến. Các vecto này cùng phương với nhau, tức là nếu n→ là một vecto pháp tuyến của đường thẳng d, thì kn→ (với k ≠ 0) cũng là một vecto pháp tuyến của d.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng 3x – 5y + 7 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có vecto pháp tuyến của đường thẳng là n→(3; -5).
Ví dụ 2: Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng có phương trình y = 2x + 1.
Giải:
Đưa phương trình về dạng tổng quát: 2x – y + 1 = 0.
Vậy, vecto pháp tuyến của đường thẳng là n→(2; -1).
Ví dụ 3: Xác định vecto pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox.
Giải:
Đường thẳng song song với trục Ox có dạng y = m (m là hằng số). Chuyển về dạng tổng quát: 0x + 1y – m = 0.
Vecto pháp tuyến là n→(0; 1). Hoặc n→(0;-1) vì hai vecto này cùng phương.
Ví dụ 4: Xác định vecto pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy.
Giải:
Đường thẳng song song với trục Oy có dạng x = m (m là hằng số). Chuyển về dạng tổng quát: 1x + 0y – m = 0.
Vecto pháp tuyến là n→(1; 0). Hoặc n→(2;0) vì hai vecto này cùng phương.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng Δ: x – 3y – 2 = 0. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của Δ?
A. n1→ = (1; -3) . B. n2→ = (-2; 6) . C. n3→ = ( ; -1). D. n4→ = (3; 1).
Giải:
Ta có nd→ = (1; -3), các vecto cùng phương với nd→ sẽ là VTPT của đường thẳng. Kiểm tra thấy (3;1) không cùng phương với nd→.
Chọn D.
Ứng Dụng của Vecto Pháp Tuyến
Vecto pháp tuyến có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học giải tích, bao gồm:
- Viết phương trình đường thẳng: Khi biết một điểm thuộc đường thẳng và một vecto pháp tuyến, ta có thể viết được phương trình của đường thẳng.
- Xác định góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vecto pháp tuyến của chúng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Công thức tính khoảng cách sử dụng vecto pháp tuyến của đường thẳng.
- Tìm điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc vuông góc: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vecto pháp tuyến của chúng cùng phương. Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vecto pháp tuyến bằng 0.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho đường thẳng d: 2x + 5y – 10 = 0. Tìm các vecto pháp tuyến có độ dài bằng 1.
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và có vecto pháp tuyến n→(3; -4).
Bài 3: Cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 3 = 0 và d2: 2x + y – 1 = 0. Tính góc giữa hai đường thẳng này.
Bài 4: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(2; 3), C(4; 1). Viết phương trình đường cao AH của tam giác.
Bài 5: Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d: = 1.
Giải:
Biến đổi phương trình thành dạng tổng quát: 3x + 2y – 6 = 0.
Vậy VTPT là n→(3;2)
Kết Luận
Vecto pháp tuyến là một công cụ hữu ích và quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng trong hình học giải tích. Việc nắm vững định nghĩa, phương pháp tìm kiếm và các ứng dụng của vecto pháp tuyến sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và sâu sắc về vecto pháp tuyến của đường thẳng.
