Tổng Hợp Kiến Thức Về Vecto Lớp 10: Định Nghĩa, Tính Chất và Ứng Dụng

donghochetacdh

6 days ago

Các Định Nghĩa Cơ Bản Về Vecto

1. Định Nghĩa Vecto

Trong hình học lớp 10, vecto là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. Vecto biểu diễn một độ dài và một hướng cụ thể.

Ký hiệu: Vecto có điểm đầu A, điểm cuối B ký hiệu là $overrightarrow{AB}$.

Alt: Biểu diễn hình học của vecto AB, mũi tên chỉ hướng từ A đến B, minh họa khái niệm vecto trong toán học lớp 10

Vecto còn được ký hiệu là $overrightarrow{a}$ khi không cần xác định điểm đầu và điểm cuối.

2. Vecto Cùng Phương, Cùng Hướng

Giá của vecto: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vecto.
Vecto cùng phương: Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Vecto cùng hướng: Hai vecto cùng phương và có chiều mũi tên giống nhau thì gọi là cùng hướng.

Nhận xét quan trọng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$ cùng phương. Điều này có ứng dụng lớn trong các bài toán chứng minh thẳng hàng.

3. Hai Vecto Bằng Nhau

Độ dài của vecto $overrightarrow{AB}$ là khoảng cách giữa hai điểm A và B, ký hiệu là $|overrightarrow{AB}| = AB$.

Định nghĩa: Hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Ký hiệu: $overrightarrow{a} = overrightarrow{b}$.

Lưu ý: Với một vecto $overrightarrow{a}$ và một điểm O cho trước, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho $overrightarrow{OA} = overrightarrow{a}$.

4. Vecto – Không

Vecto – không là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu: $overrightarrow{0}$. Vecto – không có độ dài bằng 0 và không có hướng xác định.

Tổng và Hiệu của Hai Vecto

1. Tổng của Hai Vecto

Định nghĩa: Cho hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A bất kỳ, vẽ $overrightarrow{AB} = overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{BC} = overrightarrow{b}$. Vecto $overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Ký hiệu: $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = overrightarrow{AC}$.

Alt: Hình ảnh minh họa quy tắc cộng vecto, vecto AC là tổng của vecto AB và vecto BC, biểu diễn phép toán cộng vecto trong chương trình toán lớp 10

Phép cộng vecto còn được gọi là phép tổng hợp vecto.

2. Quy Tắc Hình Bình Hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} = overrightarrow{AC}$.

3. Tính Chất của Phép Cộng Vecto

Với ba vecto $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$, $overrightarrow{c}$ tùy ý, ta có:

$overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = overrightarrow{b} + overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán)
$(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}) + overrightarrow{c} = overrightarrow{a} + (overrightarrow{b} + overrightarrow{c})$ (tính chất kết hợp)
$overrightarrow{a} + overrightarrow{0} = overrightarrow{a}$ (tính chất của vecto – không)

4. Hiệu của Hai Vecto

a) Vecto đối: Cho vecto $overrightarrow{a}$. Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với $overrightarrow{a}$ được gọi là vecto đối của $overrightarrow{a}$, ký hiệu là $-overrightarrow{a}$.

b) Định nghĩa hiệu của hai vecto: Cho hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Hiệu của hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là vecto $overrightarrow{a} – overrightarrow{b} = overrightarrow{a} + (-overrightarrow{b})$.

Từ định nghĩa, với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có $overrightarrow{OA} – overrightarrow{OB} = overrightarrow{BA}$.

Lưu ý:

Phép toán tìm hiệu của hai vecto còn được gọi là phép trừ vecto.
Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta luôn có:
- $overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm)
- $overrightarrow{AB} – overrightarrow{AC} = overrightarrow{CB}$ (quy tắc trừ)

5. Ứng Dụng Quan Trọng

Trung điểm: Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $overrightarrow{IA} + overrightarrow{IB} = overrightarrow{0}$.
Trọng tâm: Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}$.

Tích của Vecto với Một Số

1. Định Nghĩa

Cho số $k neq 0$ và vecto $overrightarrow{a}$. Tích của vecto $overrightarrow{a}$ với số k là một vecto, ký hiệu là $koverrightarrow{a}$, có các tính chất sau:

Cùng hướng với $overrightarrow{a}$ nếu $k > 0$.
Ngược hướng với $overrightarrow{a}$ nếu $k < 0$.
Độ dài: $|koverrightarrow{a}| = |k||overrightarrow{a}|$.

2. Tính Chất

Với hai vecto $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$ bất kỳ và mọi số h, k, ta có:

$k(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}) = koverrightarrow{a} + koverrightarrow{b}$
$(h + k)overrightarrow{a} = hoverrightarrow{a} + koverrightarrow{a}$
$h(koverrightarrow{a}) = (hk)overrightarrow{a}$
$1overrightarrow{a} = overrightarrow{a}$
$(-1)overrightarrow{a} = -overrightarrow{a}$

3. Trung Điểm và Trọng Tâm (Mở Rộng)

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M, ta có: $overrightarrow{MI} = frac{1}{2}(overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB})$.
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta có: $overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB} + overrightarrow{MC} = 3overrightarrow{MG}$.

4. Điều Kiện Để Hai Vecto Cùng Phương

Điều kiện cần và đủ để hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng phương là có một số k sao cho $overrightarrow{a} = koverrightarrow{b}$.

Hệ quả: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 sao cho $overrightarrow{AB} = koverrightarrow{AC}$.

Alt: Biểu diễn trực quan tích của một vecto với số k, cho thấy vecto mới có thể dài hơn hoặc ngắn hơn, cùng hướng hoặc ngược hướng tùy thuộc vào giá trị của k, minh họa khái niệm tích vecto lớp 10

5. Phân Tích Một Vecto Theo Hai Vecto Không Cùng Phương

Cho hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ không cùng phương. Khi đó, mọi vecto $overrightarrow{x}$ đều có thể phân tích được một cách duy nhất theo hai vecto $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho $overrightarrow{x} = hoverrightarrow{a} + koverrightarrow{b}$.

Hệ Trục Tọa Độ

1. Trục Tọa Độ và Độ Dài Đại Số

Trục tọa độ: Đường thẳng trên đó xác định một điểm O (gốc tọa độ) và một vecto đơn vị $overrightarrow{i}$. Ký hiệu: (O; $overrightarrow{i}$).

Alt: Mô tả trục tọa độ với gốc O và vecto đơn vị i, biểu diễn cách xác định vị trí của một điểm trên trục số, minh họa hệ trục tọa độ trong toán học lớp 10

Tọa độ của điểm: Với điểm M trên trục (O; $overrightarrow{i}$), tồn tại duy nhất số k sao cho $overrightarrow{OM} = koverrightarrow{i}$. Số k là tọa độ của điểm M.
Độ dài đại số: Với hai điểm A, B trên trục (O; $overrightarrow{i}$), tồn tại duy nhất số a sao cho $overrightarrow{AB} = aoverrightarrow{i}$. Số a là độ dài đại số của vecto $overrightarrow{AB}$, ký hiệu là $overline{AB} = a$.

Nhận xét:

Nếu $overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $overrightarrow{i}$ thì $overline{AB} = AB$, ngược hướng thì $overline{AB} = -AB$.
Nếu A, B có tọa độ lần lượt là a, b thì $overline{AB} = b – a$.

2. Hệ Trục Tọa Độ Oxy

Định nghĩa: Hệ trục tọa độ (O; $overrightarrow{i}$; $overrightarrow{j}$) gồm hai trục (O; $overrightarrow{i}$) và (O; $overrightarrow{j}$) vuông góc với nhau. O là gốc tọa độ. (O; $overrightarrow{i}$) là trục hoành (Ox), (O; $overrightarrow{j}$) là trục tung (Oy). $overrightarrow{i}$ và $overrightarrow{j}$ là các vecto đơn vị trên Ox và Oy, $|overrightarrow{i}| = |overrightarrow{j}| = 1$. Ký hiệu: Oxy.

Alt: Hình vẽ hệ trục tọa độ Oxy vuông góc, thể hiện trục hoành Ox, trục tung Oy và các vecto đơn vị i và j, mô tả hệ tọa độ Descartes trong không gian hai chiều cho lớp 10

Tọa độ của vecto: Trong mặt phẳng Oxy, cho vecto $overrightarrow{u}$. Tồn tại duy nhất cặp số (x; y) sao cho $overrightarrow{u} = xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j}$. Cặp số (x; y) là tọa độ của vecto $overrightarrow{u}$, ký hiệu $overrightarrow{u} = (x; y)$. x là hoành độ, y là tung độ.
Tọa độ của điểm: Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ của vecto $overrightarrow{OM}$ là tọa độ của điểm M, ký hiệu M(x; y).
Liên hệ: Cho A(xA; yA) và B(xB; yB), ta có $overrightarrow{AB} = (xB – xA; yB – yA)$.

3. Các Công Thức Quan Trọng

$overrightarrow{a} = (a_1; a_2)$, $overrightarrow{b} = (b_1; b_2)$
- $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2)$
- $overrightarrow{a} – overrightarrow{b} = (a_1 – b_1; a_2 – b_2)$
- $koverrightarrow{a} = (ka_1; ka_2)$
- $overrightarrow{a} = overrightarrow{0} Leftrightarrow a_1 = 0 text{ và } a_2 = 0$
$overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại k sao cho $a_1 = kb_1$ và $a_2 = kb_2$.

4. Tọa Độ Trung Điểm và Trọng Tâm

Trung điểm: Cho A(xA, yA), B(xB, yB). Tọa độ trung điểm I(xI, yI) của đoạn thẳng AB là:
$x_I = frac{x_A + x_B}{2}; y_I = frac{y_A + y_B}{2}$.
Trọng tâm: Cho tam giác ABC có A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC). Tọa độ trọng tâm G(xG, yG) của tam giác ABC là:
$x_G = frac{x_A + x_B + x_C}{3}; y_G = frac{y_A + y_B + y_C}{3}$.