Véctơ chỉ phương là một khái niệm quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 12. Nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập liên quan đến vectơ chỉ phương giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán về đường thẳng trong không gian.
Định Nghĩa Véctơ Chỉ Phương
Véctơ chỉ phương của một đường thẳng là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng Δ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{a} = (a_1; a_2; a_3)$. Phương trình tham số của Δ là:
Alt text: Công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian Oxyz, đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương a.
Trong đó, t là tham số.
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng Δ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{a} = (a_1; a_2; a_3)$ với $a_1a_2a_3 neq 0$. Phương trình chính tắc của Δ là:
Alt text: Công thức phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian, biểu diễn qua tọa độ điểm đi qua và thành phần vectơ chỉ phương.
Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có vectơ chỉ phương lần lượt là $overrightarrow{a_1}$ và $overrightarrow{a_2}$. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó. Ta có:
$cosvarphi = frac{|overrightarrow{a_1} . overrightarrow{a_2}|}{|overrightarrow{a_1}|.|overrightarrow{a_2}|}$
Alt text: Biểu thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng dựa vào tích vô hướng và độ dài vectơ chỉ phương của chúng.
Góc Giữa Đường Thẳng và Mặt Phẳng
Cho đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{a{Delta}}$ và mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n{alpha}}$. Gọi φ là góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (α). Ta có:
$sinvarphi = frac{|overrightarrow{a{Delta}} . overrightarrow{n{alpha}}|}{|overrightarrow{a{Delta}}|.|overrightarrow{n{alpha}}|}$
Alt text: Công thức sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, sử dụng tích vô hướng của vectơ chỉ phương đường thẳng và vectơ pháp tuyến mặt phẳng.
Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
Cho đường thẳng Δ đi qua điểm $M0$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{a{Delta}}$. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là:
$d(M, Delta) = frac{|[overrightarrow{MM0}, overrightarrow{a{Delta}}]|}{|overrightarrow{a_{Delta}}|}$
Alt text: Công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Delta, thông qua tích có hướng và độ dài vectơ chỉ phương.
Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ1 và Δ2 lần lượt đi qua điểm M, N và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{a_1}$, $overrightarrow{a_2}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng đó là:
$d(Delta_1, Delta_2) = frac{|[overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}].overrightarrow{MN}|}{|[overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}]|}$
Alt text: Biểu thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, dựa trên tích hỗn tạp và tích có hướng của các vectơ chỉ phương.
Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Cách Giải
- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B: Véctơ chỉ phương là $overrightarrow{AB}$.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: Véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α): Véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
- Viết phương trình đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: Véctơ chỉ phương là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của d1 và d2.
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Tìm một điểm thuộc giao tuyến và tìm vectơ chỉ phương bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, học sinh nên làm nhiều bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao. Các bài tập này giúp rèn luyện kỹ năng xác định vectơ chỉ phương, viết phương trình đường thẳng và giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Ví dụ:
- Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/-1 = z/1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và song song với d.
- Cho hai đường thẳng d1: (x-1)/1 = (y+2)/2 = (z-3)/-1 và d2: (x+2)/-1 = (y-1)/1 = (z+1)/2. Tính góc giữa hai đường thẳng này.
Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên, học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài toán hình học không gian liên quan đến vectơ chỉ phương.
Alt text: Hình ảnh minh họa đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, đoạn vuông góc AB là khoảng cách giữa chúng.
