Véc Tơ Pháp Tuyến (VTPT) là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt khi nghiên cứu về phương trình đường thẳng. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức toàn diện về véc tơ pháp tuyến, bao gồm định nghĩa, phương pháp tìm kiếm và các ví dụ, bài tập minh họa.
A. Định nghĩa và tính chất của Véc tơ pháp tuyến
Véc tơ pháp tuyến của một đường thẳng là một véc tơ khác không có phương vuông góc với đường thẳng đó. Một đường thẳng có vô số véc tơ pháp tuyến, tất cả chúng đều cùng phương với nhau.
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0. Khi đó, véc tơ n = (a; b) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d.
B. Phương pháp tìm Véc tơ pháp tuyến
1. Từ phương trình tổng quát của đường thẳng
Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0, thì véc tơ pháp tuyến của d là n = (a; b).
Ví dụ: Tìm véc tơ pháp tuyến của đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0.
Giải:
Đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 có véc tơ pháp tuyến là n = (3; -4).
2. Từ véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Nếu đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u = (u1; u2), thì véc tơ pháp tuyến của d có thể được tìm bằng cách đổi chỗ hai thành phần của u và đổi dấu một trong hai thành phần đó. Ví dụ, n = (-u2; u1) hoặc n = (u2; -u1) là các véc tơ pháp tuyến của d.
Ví dụ: Tìm véc tơ pháp tuyến của đường thẳng có véc tơ chỉ phương u = (2; 5).
Giải:
Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng có thể là n = (-5; 2) hoặc n = (5; -2).
3. Từ hai điểm thuộc đường thẳng
Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2), thì véc tơ chỉ phương của d là AB = (x2 – x1; y2 – y1). Từ đó, ta có thể tìm véc tơ pháp tuyến của d như trong phương pháp 2.
C. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x – 3y + 7 = 0 là:
A. n4 = (2; -3) B. n2 = (2; 3) C. n3 = (3; 2) D. n1 = (-3; 2)
Lời giải:
Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0. Khi đó; đường thẳng d nhận vecto (a; b) làm VTPT.
⇒ đường thẳng d nhận vecto n = (2; -3) là VTPT.
Chọn A.
Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?
A. n = (1; 1) B. n = (0; -1) C. n = (1; 0) D. n = (-1; 1)
Lời giải:
Đường thẳng song song với Ox có phương trình là: y + m = 0 (với m ≠ 0).
Đường thẳng này nhận vecto n = (0; 1) làm VTPT.
Suy ra vecto n’ = (0; -1) cũng là VTPT của đường thẳng (hai vecto n và n’ là cùng phương).
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng ∆: x – 3y – 2 = 0. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của ∆?
A. n1 = (1; -3). B. n2 = (-2; 6). C. n3 = ( ; -1). D. n4 = (3; 1).
Alt: Hình ảnh biểu thức toán học, phân số có tử số là một và mẫu số là ba.
Lời giải:
Một đường thẳng có vô số VTPT và các vecto đó cùng phương với nhau.
Nếu vecto n ≠ 0 là một VTPT của đường thẳng ∆ thì k.n cũng là VTPT của đường thẳng ∆.
∆ : x – 3y – 2 = 0 → nd = (1; -3) →
Alt: Phương trình toán học, mối liên hệ giữa véc tơ pháp tuyến và hệ số k.
=> Vecto (3; 1) không là VTPT của đường thẳng ∆.
Chọn D
D. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y – 8 = 0. Trong các vecto sau, vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?
A. n1 (4; 6) B. n2(-2; -3) C. n3(4; -6) D. n4(-6; -9)
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường thẳng d nhận vecto n(2; 3) làm VTPT.
+ Lại có; vecto n1 = 2n; n2 = – n và n4 = – 3n
=> Các vecto n1; n2; n4 cùng phương với vecto n ⃗ nên ba vecto này cũng là VTPT của đường thẳng d.
Câu 2: Cho đường thẳng d: = 1. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d?
Alt: Phương trình đường thẳng, dạng phân số x trên 2 cộng y trên 3 bằng 1.
A. n(2;3) B. n(3;2) C. n(2; -3) D. n(-2;3)
Lời giải:
Đáp án: B
Đường thẳng d: = 1 ⇔ (d): 3x + 2y – 6 = 0
Alt: Phương trình đường thẳng dạng phân số: x chia 5 cộng y chia 7 bằng 1.
⇒ Đường thẳng d nhận vecto n(3;2) làm VTPT.
Câu 4: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. d có vectơ pháp tuyến n = (3; 5)
B. d có vectơ chỉ phương u = (5; -3)
C. d có hệ số góc k =
Alt: Biểu thức toán học, công thức hệ số góc k bằng âm ba phần năm.
D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y + 9080 = 0.
Lời giải:
Đáp án: C
Đường thẳng d: 3x+ 5y + 2018= 0 có:
Vecto pháp tuyến n(3;5)
Vecto chỉ phương: u( 5; 3)
Từ 3x + 5y + 2018 = 0 suy ra: y = x +
Alt: Phương trình đường thẳng: y bằng âm ba phần năm nhân x cộng một hằng số.
Do đó đường thẳng d có hệ số góc k =
Alt: Biểu thức toán học, công thức hệ số góc k bằng âm ba phần năm.
Hai đường thẳng d và ∆ có; = ≠ nên hai đường thẳng này song song với nhau.
Alt: Các biểu thức toán học, điều kiện để hai đường thẳng song song.
E. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3x – 5y + 2 = 0.
Bài 2. Tìm vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai.
Bài 3. Cho đường thẳng d: x/5 + y/7 = 1. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d.
Bài 4. Cho đường thẳng d: 2x + 7y + 3046 = 0. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có A(–1; 3) ; B(2; 7). Tìm một VTPT của đường thẳng AC.
Bài viết này đã trình bày một cách chi tiết về véc tơ pháp tuyến của đường thẳng, từ định nghĩa, cách tìm đến các ví dụ và bài tập minh họa. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn đọc sẽ nắm vững hơn về khái niệm này và có thể áp dụng nó vào giải các bài toán liên quan.
