Đồ thị hàm số là một công cụ trực quan và mạnh mẽ để biểu diễn mối quan hệ giữa các biến số. Trong toán học, việc Vẽ đồ Thị Hàm Số giúp chúng ta dễ dàng hình dung và phân tích tính chất của hàm số đó. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách vẽ đồ thị hàm số, đặc biệt tập trung vào hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0), cùng với các bài tập áp dụng để bạn có thể nắm vững kiến thức.
A. Phương Pháp Chung để Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Để vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và hiệu quả, bạn cần nắm vững các bước cơ bản sau:
- Xác định hàm số: Xác định rõ dạng của hàm số cần vẽ (ví dụ: hàm số bậc nhất, bậc hai, hàm số lượng giác, …).
- Lập bảng giá trị: Chọn một số giá trị của biến độc lập (thường là x) và tính giá trị tương ứng của biến phụ thuộc (y). Số lượng điểm cần tính phụ thuộc vào độ phức tạp của hàm số.
- Vẽ hệ trục tọa độ: Vẽ hệ trục tọa độ Oxy vuông góc, trong đó trục hoành Ox biểu diễn biến độc lập x và trục tung Oy biểu diễn biến phụ thuộc y.
- Xác định các điểm trên mặt phẳng tọa độ: Dựa vào bảng giá trị, xác định các điểm có tọa độ (x; y) trên mặt phẳng tọa độ.
- Nối các điểm: Nối các điểm đã xác định bằng một đường thẳng hoặc đường cong tùy thuộc vào dạng của hàm số. Đường thẳng/đường cong này chính là đồ thị của hàm số.
Các Tính Chất Cần Lưu Ý Khi Vẽ Đồ Thị Hàm Số y = ax + b (a ≠ 0)
- Hệ số góc: Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a. Hệ số góc cho biết độ dốc của đường thẳng.
- Tính song song: Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau.
- Tính vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc thì có tích hệ số góc bằng -1.
- Góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox: Đường thẳng y = ax + b (a > 0) tạo với tia Ox một góc α.
B. Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc Nhất y = ax + b (a ≠ 0)
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a và b là các hằng số, và a ≠ 0. Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Để vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, ta có thể sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp 1: Sử dụng hai điểm đặc biệt
- Bước 1: Tìm giao điểm của đường thẳng với trục Oy. Cho x = 0, ta được y = b. Điểm này có tọa độ là (0; b).
- Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng với trục Ox. Cho y = 0, ta được x = -b/a. Điểm này có tọa độ là (-b/a; 0).
- Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm vừa tìm được.
Phương pháp 2: Sử dụng hệ số góc và một điểm
- Bước 1: Xác định hệ số góc a của đường thẳng.
- Bước 2: Tìm một điểm thuộc đường thẳng. Ví dụ, giao điểm với trục Oy là (0; b).
- Bước 3: Từ điểm đã biết, sử dụng hệ số góc để tìm điểm thứ hai. Nếu a > 0, đường thẳng đi lên từ trái sang phải; nếu a < 0, đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.
- Bước 4: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm vừa tìm được.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x
Đây là trường hợp b = 0, đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; 2).
Alt text: Đồ thị hàm số y=2x được vẽ trên hệ trục tọa độ Oxy, đi qua gốc tọa độ và điểm A(1;2), minh họa cách vẽ đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = -3x + 3
- Bước 1: Cho x = 0, ta được y = 3. Điểm P(0; 3) thuộc trục Oy.
- Bước 2: Cho y = 0, ta được x = 1. Điểm Q(1; 0) thuộc trục Ox.
- Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q.
Alt text: Minh họa cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y=-3x+3 bằng cách xác định giao điểm với trục Ox và Oy, sau đó nối hai điểm để tạo thành đường thẳng.
C. Bài Tập Tự Luận và Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Bài 1: Cho đồ thị hàm số y = ax + 7 đi qua M(2; 11). Tìm a.
Hướng dẫn giải:
Vì đồ thị hàm số y = ax + 7 đi qua M(2; 11) nên thay x = 2; y = 11 vào phương trình, ta được:
11 = 2a + 7
=> 2a = 4
=> a = 2
Vậy a = 2.
Bài 2: Biết rằng khi x = 3 thì hàm số y = 2x + b có giá trị bằng 8, tìm b.
Hướng dẫn giải:
Thay x = 3; y = 8 vào hàm số y = 2x + b, ta được:
8 = 2(3) + b
=> 8 = 6 + b
=> b = 2
Vậy b = 2.
Bài 3: Cho hàm số y = (m + 1)x. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua A(1; 2).
Hướng dẫn giải:
Vì đồ thị hàm số y = (m + 1)x đi qua A(1; 2) nên thay x = 1; y = 2 vào phương trình, ta được:
2 = (m + 1)(1)
=> 2 = m + 1
=> m = 1
Vậy m = 1.
Bài 4: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau, biết đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và:
a) Đi qua điểm A(3; 2)
b) Có hệ số a = √3
c) Song song với đường thẳng y = 3x + 1
Hướng dẫn giải:
Vì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) nên có dạng y = ax (a ≠ 0)
a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(3; 2) nên ta có:
2 = 3a => a = 2/3
Vậy hàm số cần tìm là y = (2/3)x.
b) Vì hàm số đã cho có hệ số góc là a = √3 nên hàm số cần tìm là y = √3x.
c) Vì đồ thị hàm số y = ax song song với đường thẳng y = 3x + 1 nên a = 3.
Vậy hàm số cần tìm là y = 3x.
Bài 5: Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k (1)
a) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) đi qua gốc tọa độ.
b) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
c) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y = 5x – 5.
Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ khi b = 0. Do đó, đường thẳng y = (k + 1)x + k qua gốc tọa độ khi k = 0, khi đó hàm số là y = x.
b) Đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. Do đó, đường thẳng y = (k + 1)x + k cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 khi k = 2. Vậy k = 2 và đường thẳng cần tìm là y = 3x + 2.
c) Đường thẳng y = (k + 1)x + k song song với đường thẳng y = 5x – 5 khi và chỉ khi k + 1 = 5. Từ đó suy ra k = 4. Vậy hàm số cần tìm là y = 5x + 4.
Bài 6:
a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x + 1 và y = -x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Hai đường thẳng y = x + 1 và y = -x + 3 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
a) Đồ thị hàm số y = x + 1 đi qua A(-1; 0) và (0; 1)
Đồ thị hàm số y = -x + 3 đi qua B(3; 0) và (0; 3)
Alt text: Hình ảnh đồ thị của hai hàm số bậc nhất y=x+1 và y=-x+3 được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, thể hiện giao điểm và các điểm cắt trục.
b) Với đường thẳng y = x + 1:
Cho y = 0 ta suy ra x = -1. Vì vậy, đường thẳng cắt trục Ox tại A(-1; 0)
Với đường thẳng y = -x + 3:
Cho y = 0 ta tuy ra x = 3. Vì vậy, đường thẳng cắt trục Ox tại B(3; 0)
Gọi C (x; y) là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đường thẳng y = -x + 3.
Vì C(x; y) thuộc vào cả 2 đường thẳng trên nên ta có: x + 1 = -x + 3. Từ đó suy ra x = 1
Thay x = 1 vào hàm y = x + 1 ta được y = 2
Vậy C(1; 2)
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho hai hàm số y = x và y = 3x + 3.
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên trên cùng một hệ trục tọa độ;
b) Tìm tọa độ giao điểm M của hai đồ thị trên.
Bài 2: Cho hàm số y = (m + 5)x – m.
a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(– 2; – 2). Tìm m;
b) Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
- Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 4.
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số tương ứng với các giá trị của m tìm được ở trên trên cùng hệ trục tọa độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị vừa vẽ được
Bài 3: Cho hàm số y = 2x + 1 có đồ thị là d1 và y = 3 – x có đồ thị là d2.
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ;
b) Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C;
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Bài 4: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = 4x + m + 2 và y = 1 – 2x – 5 – 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Bài 5: Cho ba đường thẳng d1: y = 2x + 1; d2: y = x + 3; d3: y = 3x – 1
a) Vẽ đồ thị của ba đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ;
b) Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d3. Tìm tọa độ giao điểm A;
c) Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy;
d) Với giá trị nào của điểm m thì đường thẳng y = (m – 1)x + m cũng đi qua giao điểm của tất cả các đường thẳng đó?
Kết Luận
Việc vẽ đồ thị hàm số là một kỹ năng quan trọng trong toán học. Bằng cách nắm vững các phương pháp và thực hành các bài tập, bạn sẽ có thể dễ dàng biểu diễn và phân tích các hàm số khác nhau. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một hướng dẫn chi tiết và hữu ích để vẽ đồ thị hàm số một cách hiệu quả.