Trong toán học, việc giải các bài toán liên quan đến cấp số nhân (CSN) đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về định nghĩa và các công thức liên quan. Một dạng bài tập thường gặp là cho một hoặc nhiều phương trình liên quan đến các số hạng của CSN và yêu cầu tìm một số hạng cụ thể hoặc một mối quan hệ giữa các số hạng. Bài viết này sẽ đi sâu vào một ví dụ điển hình, tập trung vào phương trình u1 – u3 + u5 = 65, đồng thời cung cấp các bước giải chi tiết và dễ hiểu.
Để giải quyết bài toán, chúng ta cần nắm vững công thức tổng quát của CSN: un = u1 * q^(n-1), trong đó u1 là số hạng đầu tiên và q là công bội.
Bài toán cụ thể như sau:
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn:
- u1 – u3 + u5 = 65
- u1 + u7 = 325
Yêu cầu: Tính u3.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các biến đổi đại số và kiến thức về cấp số nhân.
Đầu tiên, ta viết lại các phương trình đã cho dựa trên công thức tổng quát của CSN:
Phương trình 1: u1 – u1q^2 + u1q^4 = 65
Phương trình 2: u1 + u1*q^6 = 325
Bây giờ, ta có hệ phương trình hai ẩn (u1 và q). Để giải hệ này, ta có thể sử dụng phương pháp chia hai vế của phương trình.
Từ phương trình 1, ta có: u1(1 – q^2 + q^4) = 65 (1)
Từ phương trình 2, ta có: u1(1 + q^6) = 325 (2)
Chia vế (1) cho vế (2), ta được:
(1 – q^2 + q^4) / (1 + q^6) = 65/325 = 1/5
Tiếp theo, ta biến đổi phương trình trên:
5(1 – q^2 + q^4) = 1 + q^6
5 – 5q^2 + 5q^4 = 1 + q^6
q^6 – 5q^4 + 5q^2 – 4 = 0
Đặt t = q^2 (t >= 0), ta có phương trình bậc ba:
t^3 – 5t^2 + 5t – 4 = 0
Phân tích phương trình trên, ta được:
(t – 4)(t^2 – t + 1) = 0
Vì t^2 – t + 1 > 0 với mọi t, nên ta có t = 4.
Suy ra q^2 = 4, vậy q = 2 hoặc q = -2.
Với q = 2 hoặc q = -2, thay vào phương trình (2), ta được:
u1(1 + 2^6) = 325
u1(1 + 64) = 325
u1 * 65 = 325
u1 = 325 / 65 = 5
Vậy u1 = 5.
Cuối cùng, ta tính u3:
u3 = u1 q^2 = 5 4 = 20
Vậy u3 = 20.
Kết luận:
Giá trị của u3 là 20.
Bài toán trên minh họa cách sử dụng các công thức và kỹ năng đại số để giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân. Việc nắm vững định nghĩa và các công thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán loại này.
Lưu ý: Khi giải các bài toán về cấp số nhân, cần kiểm tra kỹ các điều kiện của bài toán để đảm bảo rằng các nghiệm tìm được là hợp lệ. Ví dụ, trong một số trường hợp, công bội q có thể bị giới hạn trong một khoảng giá trị nhất định.
