Trong hình học không gian, Tứ Diện đôi Một Vuông Góc là một hình đặc biệt với nhiều tính chất thú vị và ứng dụng quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa, các tính chất đặc trưng và một số bài toán liên quan đến loại tứ diện này.
Định nghĩa:
Tứ diện $OABC$ được gọi là tứ diện đôi một vuông góc nếu các cạnh $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc với nhau tại đỉnh $O$. Nói cách khác, $OA perp OB$, $OB perp OC$ và $OC perp OA$.
Các tính chất quan trọng:
-
Tính chất hình chiếu: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Khi đó:
- $BC perp (OAH)$
- $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
- $frac{1}{OH^2} = frac{1}{OA^2} + frac{1}{OB^2} + frac{1}{OC^2}$. Đây là một hệ thức quan trọng liên hệ độ dài đường cao $OH$ với độ dài các cạnh bên $OA, OB, OC$.
-
Quan hệ vuông góc: Các mặt phẳng $(OAB)$, $(OBC)$, $(OCA)$ đôi một vuông góc với nhau. Điều này xuất phát trực tiếp từ định nghĩa các cạnh đôi một vuông góc.
-
Thể tích tứ diện: Thể tích của tứ diện đôi một vuông góc $OABC$ được tính bởi công thức: $V = frac{1}{6} OA cdot OB cdot OC$. Công thức này tương tự như công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật, cho thấy mối liên hệ giữa hai hình này.
Chứng minh các tính chất:
- Chứng minh $BC perp (OAH)$:
Ta có $OA perp (OBC) Rightarrow OA perp BC$. (1)
Mặt khác, $OH perp (ABC) Rightarrow OH perp BC$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $BC perp (OAH)$.
- Chứng minh $H$ là trực tâm của $triangle ABC$:
Từ chứng minh trên, $BC perp AH$. (*)
Tương tự, $OC perp (OAB) Rightarrow OC perp AB$. (3)
$OH perp (ABC) Rightarrow OH perp AB$. (4)
Từ (3) và (4) suy ra $AB perp (OHC) Rightarrow AB perp HC$. (**)
Từ (*) và (**) suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
- Chứng minh $frac{1}{OH^2} = frac{1}{OA^2} + frac{1}{OB^2} + frac{1}{OC^2}$:
Đặt $OD$ là đường cao của tam giác $OBC$. Khi đó, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
$frac{1}{OD^2} = frac{1}{OB^2} + frac{1}{OC^2}$.
Xét tam giác vuông $OAD$, ta có: $frac{1}{OH^2} = frac{1}{OA^2} + frac{1}{OD^2} = frac{1}{OA^2} + frac{1}{OB^2} + frac{1}{OC^2}$.
Ứng dụng:
Tứ diện đôi một vuông góc thường xuất hiện trong các bài toán về hình học không gian, đặc biệt là các bài toán liên quan đến:
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng.
- Tính thể tích của các khối đa diện.
- Chứng minh các quan hệ vuông góc.
Ví dụ:
Cho tứ diện $SABC$ có $SA$, $SB$, $SC$ đôi một vuông góc và $SA = a$, $SB = b$, $SC = c$. Tính khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.
Lời giải:
Khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$ chính là độ dài đường cao $SH$ của tứ diện $SABC$.
Áp dụng công thức $frac{1}{SH^2} = frac{1}{SA^2} + frac{1}{SB^2} + frac{1}{SC^2}$, ta có:
$frac{1}{SH^2} = frac{1}{a^2} + frac{1}{b^2} + frac{1}{c^2} = frac{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}{a^2b^2c^2}$.
Suy ra $SH = frac{abc}{sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}}$.
Kết luận:
Tứ diện đôi một vuông góc là một chủ đề quan trọng trong hình học không gian. Việc nắm vững định nghĩa, các tính chất và ứng dụng của nó sẽ giúp giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Việc luyện tập các bài tập khác nhau sẽ giúp củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
