Trung đoạn là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt khi nghiên cứu về hình chóp đều. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về Trung đoạn Của Hình Chóp, cách tính trung đoạn một cách chi tiết và các bài tập minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Định Nghĩa Trung Đoạn của Hình Chóp Đều
Trong hình chóp đều, trung đoạn là chiều cao của mặt bên (một tam giác cân) hạ từ đỉnh của hình chóp xuống cạnh đáy của mặt bên đó. Nói cách khác, trung đoạn là đoạn thẳng nối từ đỉnh của hình chóp đến trung điểm của một cạnh đáy của mặt bên.
Phương Pháp Tính Trung Đoạn của Hình Chóp Đều
Để tính trung đoạn của hình chóp đều, ta thực hiện theo các bước sau:
- Xác định trung đoạn: Vẽ hình và xác định rõ trung đoạn cần tính.
- Xác định các yếu tố liên quan: Xác định các đoạn thẳng, góc có liên quan đến trung đoạn, ví dụ như chiều cao của hình chóp, cạnh đáy, cạnh bên.
- Áp dụng định lý Pythagore hoặc các công thức lượng giác: Sử dụng các công thức toán học phù hợp để tính độ dài trung đoạn.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và chiều cao SO = h. Tính độ dài trung đoạn SM.
Giải:
- Gọi M là trung điểm của cạnh BC. SM là trung đoạn của hình chóp.
- OM = a/2 (vì O là tâm của hình vuông ABCD).
- Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác SOM vuông tại O:
SM2 = SO2 + OM2 = h2 + (a/2)2
Vậy SM = √(h2 + (a2/4))
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = 2cm và đường cao SO = 4cm. Tính trung đoạn SM của hình chóp.
Alt text: Hình vẽ minh họa hình chóp tam giác đều SABC, đường cao SO và trung đoạn SM, giúp người học hình dung rõ hơn về các yếu tố liên quan đến bài toán tính trung đoạn.
Lời giải:
S.ABC là chóp tam giác đều nên O là trọng tâm của ∆ABC.
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó SM ⊥ BC nên SM là trung đoạn của hình chóp.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABM, ta có:
AM = √(AB2 – BM2) = √(22 – 12) = √3 (cm)
Suy ra OM = (1/3)AM = √3/3 (cm)
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SOM, ta có:
SM = √(SO2 + OM2) = √(42 + (√3/3)2) = √(16 + 1/3) = √(49/3) = (7√3)/3 (cm).
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4cm, cạnh bên bằng 3√3cm. Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Hình vẽ chóp đều S.ABCD minh họa rõ các cạnh đáy, cạnh bên và trung đoạn, hỗ trợ giải bài tập tính trung đoạn khi biết cạnh đáy và cạnh bên.
Ta có:
+) SO = √(SC2−OC2) = √(27 – 22) = √23 (cm).
+) SM = √(SO2+OM2) = √(23 + 22) = √27 = 3√3 (cm).
Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 6cm. Mặt bên tạo với đáy một góc 60°. Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Minh họa hình chóp đều S.ABCD và góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD), giúp người học hiểu rõ cách xác định góc và áp dụng vào bài toán tính trung đoạn.
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta nhận thấy:
+) SM ⊥ BC, OM ⊥ BC.
+) SM ⊂ (SBC), OM ⊂ (ABCD).
+) (ABCD) ∩ (SBC) = BC.
Suy ra ((ABCD), (SBC)) = (SM, OM) = SMO^ = 60°.
Ta có: SM = OM/cos60° = 3 / (1/2) = 6 (cm).
Bài 3. Cho hình chóp đều S.ABCD, biết rằng độ dài các cạnh bên bằng 10cm và các cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Tính độ dài trung đoạn của hình chóp S.ABCD.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Hình vẽ thể hiện hình chóp đều S.ABCD, góc SCO giữa cạnh bên SC và mặt đáy, hỗ trợ trực quan cho việc giải bài tập liên quan đến trung đoạn và góc.
Gọi M là trung điểm của BC, ta dễ thấy SM là trung đoạn của hình chóp S.ABCD
Do SO ⊥ (ABCD) nên ta có: (SC, (ABCD)) = SCO^ = 60°.
Suy ra OC = SC.cos60° = 5 cm nên MC = OC/√2 = 5√2/2 (cm).
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SMC, ta có:
SM = √(SC2 – MC2) = √(102 – (5√2/2)2) = √(100 – 50/4) = √(350/4) = 5√14/2.
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Cho biết cạnh bên của hình chóp có độ lớn là 5 cm, đáy là hình vuông có cạnh bằng 8cm. Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Hình vẽ chóp tứ giác đều S.ABCD, thể hiện rõ cạnh bên SB và cạnh đáy AB, giúp người học dễ hình dung và áp dụng định lý Pythagore để tính trung đoạn.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SMB, ta có:
SM = √(SB2 – BM2) = √(52 – 42) = √(25 – 16) = √9 = 3 (cm).
Bài 5: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 8cm. Mặt bên tạo với đáy một góc 45°. Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Hình vẽ minh họa hình chóp đều S.ABC, góc SMO giữa mặt bên và mặt đáy, giúp người học hình dung rõ ràng và giải bài toán tính trung đoạn khi biết góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Gọi M là trung điểm của BC, dễ thấy SM là trung đoạn của hình chóp.
Ta có: OM = AB.√3/6 = 8√3/6 = 4√3/3 (cm).
Lại có: SMO^ = 45° nên SM = OM/cos45° = (4√3/3) / (√2/2) = (4√6)/3 (cm).
Kết Luận
Hiểu rõ định nghĩa và cách tính trung đoạn của hình chóp đều là kiến thức quan trọng trong chương trình hình học không gian. Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập các bài tập minh họa, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến hình chóp đều một cách dễ dàng.
