1. Định Lý Về Trung Tuyến Ứng Với Cạnh Huyền Trong Tam Giác Vuông
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có một tính chất vô cùng quan trọng: nó bằng một nửa độ dài cạnh huyền. Đây là một trong những kiến thức cơ bản và được ứng dụng rộng rãi trong hình học phẳng.
Phát biểu: Nếu tam giác ABC vuông tại A và AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC thì AM = BC/2.
Chứng minh: (Chúng ta sẽ chứng minh định lý này chi tiết hơn ở phần sau, sử dụng kiến thức về các tam giác bằng nhau).
Ứng dụng: Định lý này giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông, đặc biệt là các bài toán chứng minh đẳng thức, tính độ dài đoạn thẳng, hoặc xác định mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình.
2. Chứng Minh Định Lý Trung Tuyến Bằng Nửa Cạnh Huyền
Chúng ta sẽ chứng minh định lý quan trọng này một cách chi tiết:
Alt text: Hình vẽ tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến, điểm D đối xứng với A qua M, chứng minh AM = 1/2 BC.
Giả thiết: Cho tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.
Kết luận: AM = BC/2.
Chứng minh:
-
Kéo dài AM: Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA. Khi đó, AM = 1/2 AD. Mục tiêu của chúng ta là chứng minh AD = BC.
-
Xét hai tam giác BMD và CMA:
- MB = MC (vì M là trung điểm của BC)
- ∠BMD = ∠CMA (hai góc đối đỉnh)
- MD = MA (theo cách dựng)
=> ΔBMD = ΔCMA (c.g.c)
-
Suy ra:
- BD = CA (hai cạnh tương ứng)
- ∠DBM = ∠ACM (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BD // AC.
-
Vì BD // AC và ∠BAC = 90°: Nên ∠ABD = 90°.
-
Xét hai tam giác CAB và DBA:
- ∠BAC = ∠ABD = 90°
- AB là cạnh chung
- AC = BD (chứng minh trên)
=> ΔCAB = ΔDBA (hai cạnh góc vuông)
-
Suy ra: BC = AD (hai cạnh tương ứng).
-
Kết luận: Vì AD = BC và AM = 1/2 AD, nên AM = 1/2 BC. Điều này chứng tỏ đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền BC.
3. Các Bài Toán Ứng Dụng Tính Chất Trung Tuyến Trong Tam Giác Vuông
Tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán hình học. Dưới đây là một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Giải: Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC trong tam giác vuông ABC, nên AM = BC/2 = 10cm/2 = 5cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến và AM = BC/2. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
Giải:
- Ta có AM = BC/2 => AM = MB = MC
- Suy ra, tam giác MAB cân tại M và tam giác MAC cân tại M.
- Đặt ∠MAB = x, ∠MAC = y. Khi đó, ∠MBA = x, ∠MCA = y (vì tam giác cân)
- Xét tam giác ABC, ta có: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
=> (x + y) + x + y = 180°
=> 2x + 2y = 180°
=> x + y = 90° - Vậy, ∠BAC = x + y = 90°. Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH ≤ AM.
Giải:
- Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AM = BC/2.
- Ta có AH là đường cao nên AH ≤ AB và AH ≤ AC.
- Suy ra, AH ≤ (AB + AC) / 2
- Mặt khác, trong tam giác vuông ABC, ta có AB ≤ BC và AC ≤ BC.
- Do đó, (AB + AC) / 2 ≤ BC.
- Vậy, AH ≤ (AB + AC) / 2 ≤ BC = 2AM. Suy ra AH ≤ AM.
4. Bài Tập Tự Luyện Về Trung Tuyến Trong Tam Giác Vuông
Để nắm vững hơn về tính chất và ứng dụng của trung tuyến trong tam giác vuông, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến và AM = 4cm, BC = 8cm. Hỏi tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không? Vì sao?
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Biết ∠B = 60°, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc HAM khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A.
Kết luận:
Hiểu rõ về tính chất trung điểm cạnh huyền trong tam giác vuông giúp chúng ta giải quyết nhanh chóng và chính xác nhiều bài toán hình học. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này và áp dụng nó một cách linh hoạt.
