Trong hình học không gian Oxyz, trục Oy đóng vai trò quan trọng trong việc xác định vị trí các điểm và các hình khối. Vậy, Trục Oy Có Phương Trình Là gì? Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện và dễ hiểu về phương trình của trục Oy, cùng với các ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế.
Phương Trình Tham Số của Trục Oy
Trục Oy là một đường thẳng trong không gian ba chiều. Để xác định một đường thẳng, chúng ta cần một điểm mà đường thẳng đi qua và một vectơ chỉ phương.
- Điểm đi qua: Trục Oy đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0).
- Vectơ chỉ phương: Vectơ đơn vị trên trục Oy là $overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$.
Từ đó, ta có phương trình tham số của trục Oy như sau:
$$
begin{cases}
x = 0 + 0 cdot t
y = 0 + 1 cdot t
z = 0 + 0 cdot t
end{cases}
$$
Hay đơn giản hơn:
$$
begin{cases}
x = 0
y = t
z = 0
end{cases}
$$
Trong đó, $t in mathbb{R}$ là tham số.
Phương Trình Chính Tắc của Trục Oy
Từ phương trình tham số, ta có thể suy ra phương trình chính tắc của trục Oy. Tuy nhiên, do thành phần vectơ chỉ phương có giá trị bằng 0, phương trình chính tắc sẽ có dạng đặc biệt:
$$
begin{cases}
x = 0
z = 0
end{cases}
$$
Phương trình này biểu thị tập hợp tất cả các điểm có tọa độ x và z bằng 0, tức là tất cả các điểm nằm trên trục Oy.
Ví Dụ Minh Họa
Xét điểm A(0; 5; 0). Điểm A có thuộc trục Oy không?
Để kiểm tra, ta thay tọa độ của A vào phương trình tham số của trục Oy:
$$
begin{cases}
0 = 0
5 = t
0 = 0
end{cases}
$$
Vì tồn tại giá trị $t = 5$ thỏa mãn, điểm A thuộc trục Oy.
Xét điểm B(1; 2; 0). Điểm B có thuộc trục Oy không?
$$
begin{cases}
1 = 0
2 = t
0 = 0
end{cases}
$$
Không tồn tại giá trị t nào thỏa mãn điều kiện $1 = 0$. Vậy, điểm B không thuộc trục Oy.
Ứng Dụng Thực Tế
Việc nắm vững phương trình của trục Oy giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hình học không gian, chẳng hạn như:
- Tìm hình chiếu của một điểm lên trục Oy: Hình chiếu của một điểm M(x; y; z) lên trục Oy là điểm M'(0; y; 0).
- Tính khoảng cách từ một điểm đến trục Oy: Khoảng cách từ một điểm M(x; y; z) đến trục Oy là $sqrt{x^2 + z^2}$.
- Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và trục Oy: Dựa vào phương trình, ta có thể xác định đường thẳng có cắt, song song, hay trùng với trục Oy.
Bài Tập Vận Dụng
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(3; -2; 4) trên trục Oy.
- Tính khoảng cách từ điểm N(-1; 5; 2) đến trục Oy.
- Xác định giao điểm (nếu có) của đường thẳng $d: begin{cases} x = 1 + t y = -2t z = 3 – t end{cases}$ và trục Oy.
Lời giải chi tiết sẽ được cung cấp trong các bài viết tiếp theo.
Hình ảnh minh họa trục Oy vuông góc với mặt phẳng xOz trong hệ tọa độ Oxyz, thể hiện rõ vị trí và hướng của trục.
Kết Luận
Hiểu rõ về phương trình của trục Oy là nền tảng quan trọng để chinh phục các bài toán hình học không gian Oxyz. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết và hữu ích. Chúc bạn học tốt!
