Khối tròn xoay là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Nó được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một trục cố định. Trong đó, việc tính thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành (y=0) là một dạng bài tập phổ biến và có nhiều ứng dụng.
Để tính thể tích của khối tròn xoay quanh trục hoành, chúng ta cần nắm vững các công thức và phương pháp giải bài tập. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về thể tích khối tròn xoay quanh Trục Hoành Y=0, cùng với các ví dụ minh họa chi tiết.
Công Thức Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay Quanh Trục Hoành (y=0)
Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
- Đường cong y = f(x) (f(x) liên tục và không âm trên [a, b])
- Trục hoành y = 0
- Hai đường thẳng x = a và x = b
Khi quay hình phẳng này quanh trục hoành y=0, ta sẽ được một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay này được tính theo công thức sau:
V = π ∫[a, b] f²(x) dx
Trong đó:
- V là thể tích của khối tròn xoay.
- π là hằng số Pi (≈ 3.14159).
- ∫[a, b] là tích phân xác định từ a đến b.
- f(x) là hàm số xác định đường cong.
Lưu ý: Công thức trên áp dụng cho trường hợp hàm số f(x) không âm trên đoạn [a, b]. Nếu f(x) âm trên một phần của đoạn [a, b], ta cần chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ, sao cho trên mỗi đoạn nhỏ, f(x) không đổi dấu. Sau đó, tính thể tích trên từng đoạn nhỏ và cộng lại.
Ví Dụ Minh Họa Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay Quanh Trục Hoành y=0
Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 1 – x², trục hoành (y = 0), và các đường thẳng x = 0 và x = 1 quanh trục hoành.
Giải:
Áp dụng công thức:
V = π ∫[0, 1] (1 – x²)² dx = π ∫[0, 1] (1 – 2x² + x⁴) dx
= π [x – (2/3)x³ + (1/5)x⁵] |[0, 1] = π (1 – 2/3 + 1/5) = (8/15)π
Vậy, thể tích của khối tròn xoay là (8/15)π.
Ví dụ 2: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √(x/(4-x²)), trục Ox và đường thẳng x=1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox (tức trục hoành y=0).
Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích:
V = π ∫[0, 1] (√(x/(4-x²)))² dx = π ∫[0, 1] (x/(4-x²)) dx
Đặt u = 4 – x² => du = -2x dx => x dx = -1/2 du
Khi x = 0 => u = 4
Khi x = 1 => u = 3
Vậy: V = π ∫[4, 3] (-1/2) (1/u) du = -π/2 ∫[4, 3] (1/u) du = -π/2 [ln|u|] |[4, 3] = -π/2 (ln(3) – ln(4)) = π/2 (ln(4) – ln(3)) = π/2 ln(4/3)
Thể tích khối tròn xoay là π/2 ln(4/3).
Lưu Ý Quan Trọng Khi Tính Thể Tích Quanh Trục Hoành y=0
- Xác định chính xác cận tích phân: Cận tích phân a và b phải được xác định chính xác từ đề bài hoặc từ việc giải phương trình giao điểm giữa các đường.
- Kiểm tra tính liên tục và không âm của hàm số: Hàm số f(x) phải liên tục và không âm trên đoạn [a, b] để áp dụng công thức một cách trực tiếp. Nếu không, cần chia đoạn tích phân thành các đoạn nhỏ hơn.
- Sử dụng các phương pháp tích phân phù hợp: Tùy thuộc vào dạng của hàm số f(x), bạn cần sử dụng các phương pháp tích phân phù hợp (ví dụ: tích phân từng phần, đổi biến số,…) để tính tích phân xác định.
- Đơn vị thể tích: Kết quả cuối cùng phải được biểu diễn với đơn vị thể tích (ví dụ: cm³, m³,…).
Kết Luận
Việc nắm vững công thức và phương pháp tính thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành y=0 là rất quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và ứng dụng thực tế. Bằng cách luyện tập thường xuyên và áp dụng các ví dụ minh họa, bạn sẽ có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác.
