Trong hình học, tam giác vuông là một hình học cơ bản với nhiều tính chất và hệ thức quan trọng. Đặc biệt, đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông mang lại nhiều mối liên hệ thú vị giữa các cạnh và góc của tam giác. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các hệ thức liên quan đến đường cao này, giúp bạn hiểu rõ hơn về nó.
Xét tam giác ABC vuông tại A, với cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AB = c và AC = b. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền BC, và CH = b’, BH = c’ lần lượt là hình chiếu của AC và AB trên cạnh huyền BC.
1. Hệ Thức Giữa Cạnh Góc Vuông và Hình Chiếu Trên Cạnh Huyền
Định lý đầu tiên liên quan đến cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:
Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Cụ thể, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- b2 = ab’
- c2 = ac’
Chứng minh:
Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau (g.g). Do đó:
AH/AB = AC/BC => AC2 = BC.HC, hay b2 = a.b’.
Tương tự, ta chứng minh được: c2 = a.c’.
Ví dụ, từ định lý 1, ta có thể suy ra định lý Pitago. Vì a = b’ + c’, nên:
b2 + c2 = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a2
2. Hệ Thức Liên Quan Đến Đường Cao Ứng Với Cạnh Huyền
Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Với các ký hiệu như trên, ta có:
h2 = b’.c’
Chứng minh:
Xét hai tam giác vuông ΔAHB và ΔCHA. Ta có:
- ∠HAB = ∠ACH (cùng phụ với ∠ABC)
Do đó, ΔAHB đồng dạng ΔCHA (g.g). Từ đó suy ra:
AH/CH = BH/AH => AH2 = CH.BH, hay h2 = b’.c’.
Định lý 3: Tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền.
bc = ah
Hệ thức này xuất phát từ công thức tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng 1/2 bc hoặc 1/2 ah.
Định lý 4: Nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương của hai cạnh góc vuông.
1/h2 = 1/b2 + 1/c2
Thật vậy, từ hệ thức bc = ah, ta có:
(bc)2 = (ah)2 => b2c2 = a2h2
Mà a2 = b2 + c2 (định lý Pitago), nên:
b2c2 = (b2 + c2)h2
Chia cả hai vế cho b2c2h2, ta được:
1/h2 = 1/b2 + 1/c2
Ví dụ: Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.
Áp dụng hệ thức: 1/h2 = 1/62 + 1/82 = 1/36 + 1/64 = (16+9)/576 = 25/576
=> h2 = 576/25 => h = √(576/25) = 24/5 = 4.8 cm
Bài Tập Vận Dụng
- Trong tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3 và 4, tính đường cao ứng với cạnh huyền và độ dài các đoạn mà nó định ra trên cạnh huyền.
- Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài 1 và 2. Tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
- Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng tam giác DIL là tam giác cân.
Các hệ thức về đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông là kiến thức nền tảng quan trọng trong hình học. Nắm vững các hệ thức này giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông một cách dễ dàng và hiệu quả.