Trong hình học giải tích Oxy, việc xác định phương trình đường tròn đi qua 3 điểm là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa đa dạng và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến Trong Mặt Phẳng Oxy đường Tròn đi Qua 3 điểm.
A. Phương Pháp Tổng Quát
Để viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Thiết lập phương trình tổng quát.
Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng:
x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (*)
Trong đó, tâm I(a; b) và bán kính R = √(a² + b² – c) với điều kiện a² + b² – c > 0.
-
Bước 2: Thay tọa độ các điểm.
Do A, B, C thuộc đường tròn (C), thay tọa độ của A, B, C vào phương trình (*) ta được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn a, b, c.
-
Bước 3: Giải hệ phương trình.
Giải hệ phương trình ba ẩn a, b, c để tìm ra các giá trị a, b, c. Bạn có thể sử dụng các phương pháp như thế, cộng đại số hoặc sử dụng máy tính cầm tay để giải hệ.
-
Bước 4: Kết luận.
Thay các giá trị a, b, c vừa tìm được vào phương trình (*) để được phương trình đường tròn cần tìm. Đồng thời, kiểm tra lại điều kiện a² + b² – c > 0 để đảm bảo tính đúng đắn của kết quả.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn phương pháp trên, chúng ta cùng xét một số ví dụ điển hình.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đi qua ba điểm A(2; 1), B(2; 5) và C(-2; 1).
Giải:
Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² – c > 0)
Từ hệ phương trình trên, ta tìm được a = 0, b = 3 và c = -5. Vậy tâm đường tròn là I(0; 3) và bán kính R = √(0² + 3² + 5) = √14.
Ví dụ 2: Cho ba điểm A(0; 4), B(2; 4) và C(4; 0). Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua ba điểm này.
Giải:
Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² –c > 0)
Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 1, b = 1, c = -4. Vậy tâm đường tròn là I(1; 1).
Ví dụ 3: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4), B(3; 4) và C(3; 0).
Giải:
Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² – c > 0)
Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 1.5, b = 2, c = -12. Vậy bán kính R = √(1.5² + 2² + 12) = √18.25 = 4.27.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A(-2; 4), B(5; 5) và C(6; -2). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là (C): x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 (a² + b² – c > 0)
Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = -2, b = -1, c = -20. Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm: x² + y² – 4x – 2y – 20 = 0.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A(1; -2), B(-3; 0), C(2; -2). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Gọi tam giác nội tiếp đường tròn (C) có phương trình là x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 (a² + b² – c > 0)
Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 1, b = 3/2, c = -13/2. Bán kính đường tròn (C) là R = √(a² + b² – c) = √(1 + 9/4 + 13/2) = √37/2.
Ví dụ 6: Tìm tâm của đường tròn đi qua ba điểm A(2; 1), B(2; 5), C(-2; 1).
Giải:
Gọi phương trình (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (a² + b² + c > 0). Tâm I(a; b)
Từ hệ phương trình trên, ta tìm được a = 0, b = 3, c = -5. Vậy tâm I(0; 3).
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1), B(3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?
Giải:
Ta có: AB→(1; 3) và AC→(-3; 1)
⇒ AB→. AC→ = 1.(-3) + 3.1 = 0
⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A.
⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
Tọa độ tâm I – trung điểm của BC là:
⇒ Khoảng cách OI = √((1)² + (3)²)= √10
Ví dụ 8: Trong các đường tròn sau, đường tròn nào đi qua 2 điểm A(1; 0) và B(3; 4)?
A. x² + y² + 8x – 2y – 9 = 0
B. x² + y² – 3x – 16 = 0
C. x² + y² – x + y = 0
D. x² + y² – 4x – 4y + 3 = 0
Giải:
Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án. Chỉ có phương án D thỏa mãn cả hai điểm.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Gọi I(a; b) là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2), B(0; 4) và C(-2; -1). Tính a + b.
Giải:
Gọi phương trình đường tròn (C) cần tìm có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c= 0 (a² + b² – c > 0)
Do A, B , C thuộc đường tròn nên:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = -1, b = 1. Vậy tâm đường tròn là I(-1; 1) và a + b = 0.
Câu 2: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(-2; 4), B(1; 0) và C(2; -3).
Giải:
Gọi phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A; B và C là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² – c > 0 )
Do A; B và C thuộc đường tròn (C) nên:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 11/6, b = 5/6, c = -10/3. Vậy bán kính đường tròn (C): R = √(a² + b² – c) = √(121/36 + 25/36 + 120/36) = √(266/36) = √(133/18).
Câu 3: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 5), B(3; 4) và C(-4; 3).
Giải:
Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² – c > 0)
Do ba điểm A, B và C thuộc (C) nên:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 0, b = 0, c = 0. Vậy tâm của đường tròn (C) là I(0; 0).
Câu 4: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 0), B(0; 6) và C(8; 0).
Giải:
Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là: (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 ( a² + b² – c > 0 )
Do 3 điểm đó thuộc (C) nên:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 4, b = 3, c = 0. Bán kính R = √(a² + b² – c) = √(16 + 9) = 5.
Câu 5: Đường tròn đi qua 3 điểm O(0; 0), A(a; 0) và B(0; b) có phương trình là?
Giải:
Ta có: OA→( a; 0); OB→( 0; b) ⇒ OA→.OB→ = a.0 + 0.b = 0
⇒ Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.
⇒ Tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là trung điểm I(a/2; b/2) và bán kính R = √(a²/4 + b²/4)
Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là (x – a/2)² + (y – b/2)² = a²/4 + b²/4 ⇔ x² + y² – ax – by = 0
Câu 6: Đường tròn đi qua 3 điểm A(11; 8), B(13; 8) và C(14; 7) có bán kính R bằng bao nhiêu?
Giải:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 ( với a² + b² – c > 0).
Đường tròn đi qua 3 điểm A(11; 8); B(13; 8) và C( 14; 7) nên ta có:
Giải hệ phương trình trên, ta được a = 25, b = 3, c = 298. Ta có R = √(a² + b² – c) = √(625 + 9 – 298) = √336 = √(16*21) = 4√21
Câu 7: Đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2), B(-2; 3) và C(4; 1) có tâm I có tọa độ là?
Giải:
Ta có: AB→ (3; -1), BC→ (6; -2) ⇒ BC→ = 2AB→
⇒ 3 điểm A, B và C thẳng hàng.
Vậy không có đường tròn qua 3 điểm A, B và C.
Câu 8: Cho tam giác ABC có A(2; 1), B(5; 5) và C(1; 8). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?
Giải:
Ta có: AB→( 3; 4) và BC→( -4; 3)
⇒ AB→.BC→ = 3.(-4) + 4.3 = 0
⇒ AB vuông góc BC nên tam giác ABC vuông tại B.
⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.
Tọa độ tâm I- trung điểm của AC là:
⇒ Khoảng cách OI = √((3/2)² + (9/2)²) = √(9/4 + 81/4) = √(90/4) = √(45/2) = 3√(5/2)
D. Bài Tập Tự Luyện
- Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2); B(3; 6) và C(4; 7).
- Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 2); B(1; 5); C(3; 6).
- Cho tam giác ABC có A(–3; 7); B(3; 3) và C(6; –1). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Tâm của đường tròn qua ba điểm A(3; 5); B(–2; 6) ; C(–1; 3) thuộc đường thẳng có phương trình nào?
- Gọi M( a; b) là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(3; 2); B(0; 7) và C(–3; 5). Tính a + b.
Với phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến trong mặt phẳng oxy đường tròn đi qua 3 điểm. Chúc bạn thành công!
