Trong hình học giải tích không gian, việc tìm hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải quyết bài toán này, cụ thể là Trong Không Gian Với Hệ Tọa độ Oxyz Cho đường Thẳng D và mặt phẳng (P), ta cần xác định đường thẳng d’ là hình chiếu của d lên (P) theo một phương cho trước.
Cho đường thẳng d: $frac{x-1}{2} = frac{y-2}{1} = frac{z-1}{3}$ và mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Giả sử đường thẳng d’ là hình chiếu của d theo phương Ox lên (P), và d’ có vector chỉ phương $vec{u}(a; b; 2019)$. Mục tiêu là xác định tổng a + b.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Tìm điểm M thuộc đường thẳng d.
- Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng (P) theo phương Ox.
- Xác định vector chỉ phương của đường thẳng d’.
- Tìm mối liên hệ giữa vector chỉ phương vừa tìm được và vector chỉ phương $vec{u}(a; b; 2019)$.
- Tính tổng a + b.
Lời giải chi tiết:
Giả sử $M(1+2t; 2+t; 1+3t) in d$. Gọi H là hình chiếu của M lên (P) theo phương Ox, suy ra $overrightarrow{MH}$ cùng phương với $overrightarrow{i} = (1;0;0)$. Do đó, H có tọa độ $H(x_H; 2+t; 1+3t)$. Vì H thuộc (P) nên:
$x_H + 2 + t + 1 + 3t – 3 = 0 Leftrightarrow x_H = -4t$
Vậy $H(-4t; 2+t; 1+3t)$. Suy ra $overrightarrow{MH} = (-6t-1; 0; 0)$.
Tiếp theo, ta cần một điểm khác trên d, ví dụ N. Sau đó, tìm hình chiếu K của N lên (P) theo phương Ox. Khi đó, $overrightarrow{HK}$ sẽ là vector chỉ phương của d’.
Chọn $N(1;2;1)$ ứng với $t=0$. Hình chiếu của N lên (P) theo phương Ox là $N'(x;2;1)$. Vì $N’ in (P)$ nên $x+2+1-3=0 Rightarrow x=0$. Vậy $N'(0;2;1)$.
Chọn $M(3;3;4)$ ứng với $t=1$. Hình chiếu của M lên (P) theo phương Ox là $M'(x;3;4)$. Vì $M’ in (P)$ nên $x+3+4-3=0 Rightarrow x=-4$. Vậy $M'(-4;3;4)$.
Khi đó, $overrightarrow{N’M’} = (-4;1;3)$.
Vì $overrightarrow{N’M’}$ và $vec{u}(a; b; 2019)$ cùng phương nên $frac{a}{-4} = frac{b}{1} = frac{2019}{3} = 673$. Suy ra:
$a = -4 * 673 = -2692$
$b = 673$
Vậy $a + b = -2692 + 673 = -2019$.
Kết luận:
Trong bài toán trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d, việc tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng đòi hỏi sự kết hợp kiến thức về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và phép chiếu. Bằng cách áp dụng các bước giải chi tiết, ta có thể xác định được vector chỉ phương của đường thẳng hình chiếu và từ đó giải quyết các yêu cầu của bài toán. Trong trường hợp này, kết quả là a + b = -2019.
