Trong hình học giải tích không gian Oxyz, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết cách xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, cùng với các ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nói cách khác, đó là góc nhọn tạo bởi hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
2. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình lần lượt là:
(P): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
(Q): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0
Vectơ pháp tuyến của (P) là n₁ = (A₁, B₁, C₁)
Vectơ pháp tuyến của (Q) là n₂ = (A₂, B₂, C₂)
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó:
cos(α) = |(n₁ . n₂) / (|n₁| . |n₂|)|
Trong đó:
- n₁ . n₂ là tích vô hướng của hai vectơ n₁ và n₂.
- |n₁| và |n₂| là độ dài của hai vectơ n₁ và n₂.
Từ công thức trên, ta có thể suy ra:
α = arccos(|(n₁ . n₂) / (|n₁| . |n₂|)|)
3. Các trường hợp đặc biệt
- Hai mặt phẳng vuông góc: Nếu n₁ . n₂ = 0 thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau (α = 90°).
- Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau: Nếu n₁ = k.n₂ (k là một hằng số khác 0) thì hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau. Trong trường hợp này, góc giữa hai mặt phẳng bằng 0°.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và (Q): x – y + 2z = 0.
Giải:
- Vectơ pháp tuyến của (P): n₁ = (1, 1, 1)
- Vectơ pháp tuyến của (Q): n₂ = (1, -1, 2)
Tính tích vô hướng: n₁ . n₂ = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(2) = 2
Tính độ dài các vectơ:
|n₁| = √(1² + 1² + 1²) = √3
|n₂| = √(1² + (-1)² + 2²) = √6
Áp dụng công thức:
cos(α) = |2 / (√3 . √6)| = |2 / (3√2)| = √2 / 3
α = arccos(√2 / 3) ≈ 61.87°
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là khoảng 61.87°.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – y + z – 1 = 0 và mặt phẳng (β): x + y – z + 2 = 0. Tính góc giữa hai mặt phẳng này.
Giải:
- Vectơ pháp tuyến của (α): n₁ = (2, -1, 1)
- Vectơ pháp tuyến của (β): n₂ = (1, 1, -1)
Tính tích vô hướng: n₁ . n₂ = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 0
Vì n₁ . n₂ = 0 nên hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Góc giữa chúng là 90°.
5. Bài tập tự luyện
- Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 3 = 0.
- Cho mặt phẳng (α): x + y + mz + 1 = 0 và mặt phẳng (β): x – y + z – 2 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
6. Ứng dụng của việc tính góc giữa hai mặt phẳng
Việc tính góc giữa hai mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong các bài toán hình học không gian, chẳng hạn như:
- Xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Giải các bài toán liên quan đến hình chóp, hình lăng trụ.
7. Kết luận
Bài viết đã trình bày chi tiết về cách xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz. Việc nắm vững công thức và các trường hợp đặc biệt sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Hy vọng bài viết này hữu ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Minh họa góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz
