Trong hình học giải tích không gian Oxyz, mặt cầu là một trong những hình học cơ bản và quan trọng. Việc nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các yếu tố xác định mặt cầu, và các bài toán liên quan sẽ giúp ích rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về Trong Không Gian Oxyz Cho Mặt Cầu.
Mặt cầu (S) trong không gian Oxyz được xác định bởi tâm I(a; b; c) và bán kính R. Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) có dạng:
(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
Trong đó:
- (a; b; c) là tọa độ tâm I của mặt cầu.
- R là bán kính của mặt cầu.
Để xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình cho trước, ta có thể biến đổi phương trình về dạng chính tắc. Ví dụ, xét phương trình:
x² + y² + z² – 2x – 3 = 0
Ta có thể viết lại như sau:
(x² – 2x + 1) + y² + z² = 4
(x – 1)² + y² + z² = 2²
Từ đó, ta xác định được tâm của mặt cầu là I(1; 0; 0) và bán kính R = 2.
Mặt cầu với tâm I và bán kính R
Minh họa mặt cầu (S) trong không gian Oxyz với tâm I(a; b; c) và bán kính R, thể hiện mối liên hệ giữa các yếu tố xác định mặt cầu và phương trình của nó.
Các dạng bài tập thường gặp về mặt cầu trong không gian Oxyz
- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Cho phương trình mặt cầu, yêu cầu tìm tọa độ tâm và bán kính.
- Viết phương trình mặt cầu: Cho tâm và bán kính, hoặc các yếu tố khác liên quan đến mặt cầu (ví dụ: mặt cầu đi qua một điểm, tiếp xúc với mặt phẳng), yêu cầu viết phương trình mặt cầu.
- Tìm giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng: Xác định đường tròn giao tuyến, tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
- Tìm điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước: Tìm điểm M trên mặt cầu sao cho M cách đều hai điểm A, B cho trước, hoặc thỏa mãn một hệ thức tọa độ nào đó.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² + 4x – 2y + 6z + 5 = 0
Giải:
Ta biến đổi phương trình về dạng chính tắc:
(x² + 4x + 4) + (y² – 2y + 1) + (z² + 6z + 9) = -5 + 4 + 1 + 9
(x + 2)² + (y – 1)² + (z + 3)² = 9 = 3²
Vậy, tâm của mặt cầu là I(-2; 1; -3) và bán kính R = 3.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 3) và đi qua điểm A(2; -1; 5).
Giải:
Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến điểm A:
R = IA = √[(2 – 1)² + (-1 + 2)² + (5 – 3)²] = √(1 + 1 + 4) = √6
Vậy, phương trình mặt cầu là:
(x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 6
Ứng dụng của mặt cầu trong không gian Oxyz
Kiến thức về trong không gian Oxyz cho mặt cầu không chỉ quan trọng trong chương trình học phổ thông mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như:
- Đồ họa máy tính: Mô hình hóa các vật thể hình cầu, tạo hiệu ứng ánh sáng và bóng đổ.
- Thiết kế kỹ thuật: Tính toán khoảng cách, vị trí tương đối của các chi tiết máy có dạng hình cầu.
- Vật lý: Nghiên cứu chuyển động của các hạt, trường hấp dẫn của các thiên thể hình cầu.
- Trắc địa: Xác định vị trí, khoảng cách trên bề mặt trái đất (coi gần đúng là hình cầu).
Việc nắm vững kiến thức về mặt cầu trong không gian Oxyz là nền tảng quan trọng để tiếp cận các bài toán hình học không gian phức tạp hơn và ứng dụng vào thực tiễn.