Bài viết này sẽ đi sâu vào việc xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và tính khoảng cách giữa chúng Trong Không Gian Oxyz Cho trước. Chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về vectơ chỉ phương, phương trình tham số của đường thẳng và kỹ thuật giải hệ phương trình để giải quyết các bài toán liên quan.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng ({d_1}) và ({d_2}) trong không gian Oxyz, với phương trình tham số như sau:
- ({d_1}: frac{x-6}{1} = frac{y-8}{-1} = frac{z-3}{1})
- ({d_2}: frac{x-1}{1} = frac{y-2}{1} = frac{z}{2})
Đầu tiên, ta xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng ({d_1}) là: (overrightarrow {{u_1}} = (1, – 1,1)).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng ({d_2}) là: (overrightarrow {{u_2}} = (1,1,2)).
Hai vectơ chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} ) và (overrightarrow {{u_2}} ) không song song với nhau vì không có tỉ lệ giữa các tọa độ tương ứng. Điều này chứng tỏ hai đường thẳng không song song.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không, ta viết phương trình tham số của hai điểm nằm trên mỗi đường thẳng:
- Trên ({d_1}), điểm có tọa độ: ({M_1}(6 + t,8 – t,3 + t)).
- Trên ({d_2}), điểm có tọa độ: ({M_2}(1 + s,2 + s,2s)). (Sử dụng tham số ‘s’ để phân biệt với tham số ‘t’ của đường thẳng d1)
Để hai đường thẳng cắt nhau, tồn tại các giá trị của t và s sao cho ({M_1} = {M_2}). Điều này dẫn đến hệ phương trình sau:
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{6 + t = 1 + s}\{8 – t = 2 + s}\{3 + t = 2s}end{array}} right.)
Giải hệ phương trình này, ta thấy nó không có nghiệm (ví dụ, từ phương trình đầu tiên suy ra s = t + 5, thay vào phương trình thứ hai ta được 8 - t = 2 + t + 5 hay 2t = 1, suy ra t = 1/2. Thay vào phương trình thứ ba ta được 3 + 1/2 = 2s hay s = 7/4. Hai giá trị s = t + 5 và s = 7/4 không nhất quán). Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau.
Kết luận: Vì hai đường thẳng không song song và không cắt nhau, chúng chéo nhau trong không gian Oxyz cho trước.
b) Tính khoảng cách giữa hai điểm di động trên hai đường thẳng.
Giả sử hai điểm di động trên hai đường thẳng ({d_1}) và ({d_2}) có tọa độ phụ thuộc vào thời gian t như sau:
- Kiến vàng (trên ({d_1})): ({M_1}(6 + t,8 – t,3 + t)).
- Kiến đen (trên ({d_2})): ({M_2}(1 + t,2 + t,2t)).
Tại thời điểm (t = 0):
- Kiến vàng: ({M_1}(6,8,3)).
- Kiến đen: ({M_2}(1,2,0)).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
(d = sqrt {{{(1 – 6)}^2} + {{(2 – 8)}^2} + {{(0 – 3)}^2}} = sqrt {25 + 36 + 9} = sqrt {70} approx 8.37{mkern 1mu} {rm{cm}}.)
Tại thời điểm (t = 10):
- Kiến vàng: ({M_1}(16, – 2,13)).
- Kiến đen: ({M_2}(11,12,20)).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
(d = sqrt {{{(11 – 16)}^2} + {{(12 + 2)}^2} + {{(20 – 13)}^2}} = sqrt {25 + 196 + 49} = sqrt {270} approx 16.43{mkern 1mu} {rm{cm}}.)
c) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm di động.
Khoảng cách giữa hai chú kiến là một hàm số theo thời gian t:
(d(t) = sqrt {{{(1 + t – (6 + t))}^2} + {{(2 + t – (8 – t))}^2} + {{(2t – (3 + t))}^2}} .)
Rút gọn biểu thức:
(d(t) = sqrt {{{( – 5)}^2} + {{( – 6 + 2t)}^2} + {{(t – 3)}^2}} = sqrt {25 + {{( – 6 + 2t)}^2} + {{(t – 3)}^2}} .)
(d(t) = sqrt {25 + (4{t^2} – 24t + 36) + ({t^2} – 6t + 9)} = sqrt {5{t^2} – 30t + 70} .)
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số (d(t)), ta tìm điểm mà đạo hàm bằng 0:
(d'(t) = frac{1}{{2sqrt {5{t^2} – 30t + 70} }}(10t – 30) = 0.)
Giải phương trình: (10t – 30 = 0) cho (t = 3). Thay (t = 3) vào biểu thức khoảng cách:
(d(3) = sqrt {5{{(3)}^2} – 30(3) + 70} = sqrt {45 – 90 + 70} = sqrt {25} = 5{mkern 1mu} {rm{cm}}.)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chú kiến là 5 cm, đạt được tại thời điểm (t = 3). Bài toán này minh họa cách ứng dụng kiến thức trong không gian Oxyz cho để giải quyết các bài toán thực tế.
