Để xác định hàm số nghịch biến trên R (tập hợp số thực), chúng ta cần xem xét đạo hàm của hàm số đó. Một hàm số được gọi là nghịch biến trên R nếu đạo hàm của nó nhỏ hơn 0 với mọi x thuộc R. Dưới đây là phân tích chi tiết và phương pháp xác định.
Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên R:
- Điều kiện cần: Hàm số phải có đạo hàm trên R.
- Điều kiện đủ: Đạo hàm của hàm số, ký hiệu là f'(x), phải nhỏ hơn 0 hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R, và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Các dạng hàm số thường gặp và tính nghịch biến:
-
Hàm số bậc nhất: y = ax + b
- Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.
-
Hàm số bậc hai: y = ax² + bx + c
- Hàm số này không nghịch biến trên R vì đồ thị là một parabol, có cả khoảng đồng biến và nghịch biến.
-
Hàm số bậc ba: y = ax³ + bx² + cx + d (với a ≠ 0)
- Tính đạo hàm y’ = 3ax² + 2bx + c.
- Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi a < 0 và Δ’ = b² – 3ac ≤ 0.
-
Hàm phân thức hữu tỉ: y = (ax + b) / (cx + d) (với c ≠ 0)
- Tính đạo hàm y’ = (ad – bc) / (cx + d)².
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi ad – bc < 0. Tuy nhiên, hàm phân thức hữu tỉ không xác định trên R, do đó ta xét tính nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Ví dụ minh họa:
Xét bài toán: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R?
A. y = x³ + x
B. y = x² + 1
C. y = -x³ – x
D. y = 1/x
Giải:
Ta xét từng đáp án:
- Đáp án A: y = x³ + x => y’ = 3x² + 1 > 0 với mọi x thuộc R. Vậy hàm số đồng biến trên R.
- Đáp án B: y = x² + 1 => y’ = 2x. Đạo hàm này đổi dấu, hàm số không nghịch biến trên R.
- Đáp án C: y = -x³ – x => y’ = -3x² – 1 < 0 với mọi x thuộc R. Vậy hàm số nghịch biến trên R.
- Đáp án D: y = 1/x => y’ = -1/x². Đạo hàm này < 0 nhưng hàm số không xác định tại x = 0, do đó không nghịch biến trên R.
Vậy đáp án đúng là C.
Đồ thị hàm số y = -x³ – x thể hiện tính nghịch biến trên toàn trục số thực.
Lưu ý quan trọng:
- Việc xét dấu đạo hàm là then chốt để xác định tính nghịch biến của hàm số.
- Đối với các hàm số phức tạp hơn, cần kết hợp các kiến thức về giới hạn, tiệm cận để có cái nhìn đầy đủ về đồ thị hàm số.
- Cần kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi kết luận về tính nghịch biến trên R.
Hy vọng với những kiến thức trên, bạn có thể dễ dàng xác định được hàm số nào nghịch biến trên R trong các bài toán khác nhau.
