Để trả lời câu hỏi “Trong Các Hàm Số Sau Hàm Số Nào đồng Biến Trên R?”, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm hàm số đồng biến và các phương pháp xác định tính đồng biến của một hàm số.
Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng (hoặc trên R) nếu với mọi x1, x2 thuộc khoảng đó mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2). Nói cách khác, đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.
Để xác định tính đồng biến của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm:
- Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng đang xét thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
- Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc khoảng đang xét và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
Xét các dạng hàm số thường gặp:
-
Hàm số bậc hai: (y = ax^2 + bx + c) (a ≠ 0)
Hàm số bậc hai không đồng biến trên R vì đồ thị của nó là một parabol, có tính đối xứng và có điểm cực trị. Do đó, hàm số sẽ có khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến.
-
Hàm số trùng phương: (y = ax^4 + bx^2 + c) (a ≠ 0)
Tương tự hàm số bậc hai, hàm số trùng phương cũng có điểm cực trị và do đó không đồng biến trên R.
-
Hàm số phân thức hữu tỉ: (y = frac{ax + b}{cx + d}) (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)
Hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (mathbb{R}backslash left{ { – frac{d}{c}} right}), do đó không thể đồng biến trên R. Ngoài ra, đạo hàm của hàm số này là (y’ = frac{ad – bc}{(cx + d)^2}), có dấu không đổi trên từng khoảng xác định nhưng không xác định tại x = -d/c.
-
Hàm số bậc ba: (y = ax^3 + bx^2 + cx + d) (a ≠ 0)
Hàm số bậc ba có thể đồng biến trên R nếu đạo hàm của nó luôn dương hoặc bằng 0 tại một số hữu hạn điểm.
Ví dụ, xét hàm số (y = x^3 + x). Ta có đạo hàm (y’ = 3x^2 + 1). Vì (3x^2 ≥ 0) với mọi x, nên (3x^2 + 1 > 0) với mọi x. Do đó, hàm số (y = x^3 + x) đồng biến trên R.
Ảnh trên minh họa đồ thị của hàm số bậc ba y = x³ + x, một ví dụ điển hình về hàm số đồng biến trên R. Đồ thị luôn đi lên từ trái sang phải, thể hiện sự tăng trưởng liên tục của hàm số khi x tăng.
Kết luận: Để xác định “trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên R?”, cần tính đạo hàm của từng hàm số và xét dấu của đạo hàm trên tập số thực R. Nếu đạo hàm luôn dương (hoặc không âm và chỉ bằng 0 tại một số hữu hạn điểm), thì hàm số đó đồng biến trên R.
Ngoài ra, cần kiểm tra tập xác định của hàm số. Nếu tập xác định không phải là R thì hàm số đó không thể đồng biến trên R.
Hình ảnh này thể hiện đạo hàm của một hàm số bậc ba, trong đó đạo hàm luôn dương (f'(x) > 0) trên toàn bộ trục số thực. Điều này chứng minh rằng hàm số gốc (f(x)) đồng biến trên R.