Một trong những ứng dụng quan trọng của hệ thức Viét trong chương trình Toán THCS và THPT là giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, đặc biệt là khi đề bài yêu cầu tìm giá trị của biểu thức chứa trị tuyệt đối của hiệu hai nghiệm: |x1 – x2|. Bài viết này sẽ đi sâu vào các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải hiệu quả, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục các bài toán khó.
I. Cơ Sở Lý Thuyết:
Trước khi đi vào các dạng bài tập cụ thể, chúng ta cần nắm vững kiến thức cơ bản về hệ thức Viét:
-
Định lý Viét: Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2. Khi đó:
- Tổng hai nghiệm: S = x1 + x2 = -b/a
- Tích hai nghiệm: P = x1.x2 = c/a
-
Biểu thức |x1 – x2|: Chúng ta có thể biểu diễn |x1 – x2| qua tổng và tích của hai nghiệm như sau:
|x1 – x2| = √((x1 – x2)²) = √((x1 + x2)² – 4x1x2) = √(S² – 4P)
II. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp và Phương Pháp Giải:
Dạng 1: Tính Giá Trị Của |x1 – x2| Khi Biết Phương Trình
- Phương pháp:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.
- Tính tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm theo hệ thức Viét.
- Thay S và P vào công thức |x1 – x2| = √(S² – 4P) để tính giá trị.
Ví dụ: Cho phương trình x² – 5x + 6 = 0. Tính |x1 – x2|.
- Giải:
- a = 1, b = -5, c = 6
- S = x1 + x2 = -(-5)/1 = 5
- P = x1.x2 = 6/1 = 6
- |x1 – x2| = √(5² – 4*6) = √(25 – 24) = √1 = 1
Dạng 2: Tìm Tham Số Để |x1 – x2| Đạt Giá Trị Cho Trước
- Phương pháp:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai (chú ý đến các hệ số chứa tham số).
- Tính tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm theo hệ thức Viét.
- Thiết lập phương trình dựa trên điều kiện |x1 – x2| = giá trị cho trước.
- Giải phương trình để tìm giá trị của tham số.
- Kiểm tra lại điều kiện có nghiệm của phương trình (Δ ≥ 0) và các điều kiện khác (nếu có) để đảm bảo giá trị tham số tìm được hợp lệ.
Ví dụ: Cho phương trình x² – 2mx + m² – 1 = 0. Tìm m để |x1 – x2| = 2.
-
Giải:
- a = 1, b = -2m, c = m² – 1
- S = x1 + x2 = -(-2m)/1 = 2m
- P = x1.x2 = (m² – 1)/1 = m² – 1
- |x1 – x2| = √((2m)² – 4(m² – 1)) = √(4m² – 4m² + 4) = √4 = 2
Vì |x1 – x2| luôn bằng 2 với mọi m, ta cần kiểm tra điều kiện có nghiệm:
Δ’ = m² – (m² – 1) = 1 > 0. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Vậy, với mọi giá trị của m, |x1 – x2| = 2.
Dạng 3: Tìm Giá Trị Lớn Nhất (GTLN) hoặc Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN) của Biểu Thức Liên Quan Đến |x1 – x2|
- Phương pháp:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai (chú ý đến các hệ số chứa tham số).
- Tính tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm theo hệ thức Viét.
- Biểu diễn biểu thức cần tìm GTLN/GTNN theo S và P, sau đó đưa về biểu thức theo tham số.
- Sử dụng các phương pháp tìm GTLN/GTNN (ví dụ: hoàn thiện bình phương, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,…) để tìm GTLN/GTNN của biểu thức.
- Kiểm tra lại điều kiện có nghiệm của phương trình (Δ ≥ 0) và các điều kiện khác (nếu có) để đảm bảo giá trị tham số tìm được hợp lệ.
Ví dụ: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + 2 = 0. Tìm m để |x1 – x2| đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Giải:
- a = 1, b = -2(m+1), c = m² + 2
- S = x1 + x2 = 2(m+1)
- P = x1.x2 = m² + 2
- |x1 – x2| = √((2(m+1))² – 4(m² + 2)) = √(4(m² + 2m + 1) – 4m² – 8) = √(8m – 4)
Để |x1 – x2| đạt giá trị nhỏ nhất, 8m – 4 phải nhỏ nhất và không âm. Suy ra, 8m – 4 = 0 => m = 1/2.
Kiểm tra điều kiện có nghiệm:
Δ’ = (m+1)² – (m² + 2) = m² + 2m + 1 – m² – 2 = 2m – 1 ≥ 0 => m ≥ 1/2.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của |x1 – x2| là 0, đạt được khi m = 1/2.
III. Bài Tập Vận Dụng:
- Cho phương trình x² – mx + 4 = 0. Tìm m để |x1 – x2| = 3.
- Cho phương trình x² + (m-1)x + m = 0. Tìm m để |x1 – x2| đạt giá trị lớn nhất.
- Cho phương trình 2x² – 4x + m – 1 = 0. Tìm m để |x1 – x2| = √(3).
IV. Tổng Kết:
Việc nắm vững kiến thức về hệ thức Viét và khả năng biến đổi linh hoạt biểu thức |x1 – x2| là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tự tin chinh phục các bài toán khó về chủ đề này. Chúc các bạn học tốt!
Hình ảnh minh họa cách sử dụng hệ thức Viét để tìm nghiệm của phương trình bậc hai và tính trị tuyệt đối hiệu hai nghiệm.
V. Lời Khuyên:
- Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau để nắm vững phương pháp giải.
- Khi gặp bài toán khó, hãy phân tích kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và tìm mối liên hệ giữa các yếu tố.
- Không ngừng học hỏi và trau dồi kiến thức để nâng cao khả năng giải toán.
