Cấp số nhân lùi vô hạn là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 và có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn, từ lý thuyết cơ bản, công thức tính đến các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng đa dạng.
A. Lý thuyết Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
Định nghĩa: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn |q| < 1. Tức là, giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn 1.
Công thức tính tổng: Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu u1 và công bội q thỏa mãn |q| < 1. Tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn này được tính theo công thức:
Alt text: Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 và công bội q, điều kiện |q| nhỏ hơn 1. Công thức: S = u1 / (1 – q).
Công thức này cho thấy, khi số lượng số hạng tiến đến vô cùng, tổng của cấp số nhân sẽ hội tụ về một giá trị hữu hạn.
B. Ví dụ Minh Họa
Bài 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1, 1/2, 1/4, 1/8,…
Alt text: Minh họa dãy số 1, 1/2, 1/4, 1/8… biểu diễn một cấp số nhân lùi vô hạn, với u1 = 1 và q = 1/2. Dùng làm ví dụ tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Hướng dẫn:
Trong ví dụ này, ta có u1 = 1 và q = 1/2. Vì |1/2| < 1 nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn.
Alt text: Phương trình toán học thể hiện cách xác định u1 = 1 và q = 1/2 từ dãy số đã cho để áp dụng vào công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Áp dụng công thức, ta được:
Alt text: Công thức tính tổng S = u1 / (1 – q) được áp dụng với u1 = 1 và q = 1/2, kết quả S = 2.
Vậy, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là 2.
Bài 2: Cho cấp số nhân (un) với un = 1/(3n). Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này.
Hướng dẫn:
Ta có u1 = 1/3 và q = 1/3. Vì |1/3| < 1 nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn.
Alt text: Biểu thức toán học xác định u1 bằng 1/3 và q bằng 1/3 từ công thức tổng quát un = 1/(3^n) để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Áp dụng công thức, ta được S = (1/3) / (1 – 1/3) = (1/3) / (2/3) = 1/2.
Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1, -1/2, 1/4, -1/8,…
Alt text: Dãy số 1, -1/2, 1/4, -1/8… minh họa cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = -1/2.
Hướng dẫn:
Trong ví dụ này, u1 = 1 và q = -1/2. Vì |-1/2| < 1 nên đây là cấp số nhân lùi vô hạn.
Vậy S = 1 / (1 – (-1/2)) = 1 / (3/2) = 2/3.
Alt text: Công thức tính tổng S = u1 / (1 – q) với u1 = 1 và q = -1/2, cho kết quả S = 2/3.
Bài 4: Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng của nó bằng 3 và công bội q = 2/3.
Hướng dẫn:
Ta có S = 3 và q = 2/3. Áp dụng công thức S = u1 / (1 – q), ta có:
3 = u1 / (1 – 2/3) => 3 = u1 / (1/3) => u1 = 3 * (1/3) = 1.
Alt text: Phương trình giải tìm u1 từ công thức S = u1 / (1 – q) với S = 3 và q = 2/3, suy ra u1 = 1.
Bài 5: Tính tổng của dãy số sau: -1 + 1/10 – 1/100 + 1/1000 – …
Hướng dẫn:
Dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = -1 và q = -1/10.
Alt text: Phân tích dãy số -1 + 1/10 – 1/100 + 1/1000… để xác định u1 = -1 và q = -1/10.
Vậy S = -1 / (1 – (-1/10)) = -1 / (11/10) = -10/11.
Alt text: Tính tổng S = u1 / (1 – q) với u1 = -1 và q = -1/10, kết quả S = -10/11.
Bài 6: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5/3, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39/25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.
Hướng dẫn:
Đặt u1 là số hạng đầu và q là công bội. Ta có hệ phương trình:
- u1 / (1 – q) = 5/3
- u1 + u1q + u1q2 = 39/25
Giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được u1 và q.
Alt text: Hệ phương trình gồm hai phương trình: u1 / (1 – q) = 5/3 và u1 + u1q + u1q^2 = 39/25, dùng để tìm u1 và q.
Bài 7: Cho dãy số (un) với un = 1/2 + (-1/4) + 1/8 + … + (-1/2)n. Tính tổng của dãy un khi n tiến tới vô cùng.
Hướng dẫn:
Dãy số un là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = -1/2.
Alt text: Xác định u1 = 1/2 và q = -1/2 từ dãy số un để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của dãy số khi n tiến tới vô cùng là:
S = (1/2) / (1 – (-1/2)) = (1/2) / (3/2) = 1/3.
Alt text: Tính tổng S = u1 / (1 – q) với u1 = 1/2 và q = -1/2, kết quả S = 1/3.
C. Bài Tập Vận Dụng
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm và tự luận giúp bạn củng cố kiến thức về tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
Bài 1: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn: 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + …
Bài 2: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn: 1/3 – 1/9 + 1/27 – 1/81 + …
Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn 2 – 1 + 1/2 – 1/4 + …
Bài 4: Tổng của cấp số nhân vô hạn 3 – 1 + 1/3 – 1/9 + … là bao nhiêu?
Bài 5: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn: -1/4 + 1/16 – 1/64 + 1/256 – …
Bài 6: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. S = u1/(1 – q)
B. S = u1/(q – 1)
C. S = (1 – q)/u1
D. S = un/(1 – q)
Bài 7: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -50 và tổng S = 100. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 8: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -1 và công bội q = x. Tìm tổng S và 3 số hạng đầu của cấp số này.
Alt text: Các công thức và biểu thức toán học liên quan đến tổng S = u1 / (1 + x) và ba số hạng đầu của cấp số nhân: -1, x, -x^2.
Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -x và công bội q = x2. Tìm tổng S và 3 số hạng đầu của cấp số này.
Alt text: Các công thức và biểu thức toán học liên quan đến tổng S = -x / (1 – x^2) và các số hạng đầu của cấp số nhân: -x, x^3, -x^5.
Bài 10: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn sau: 5 + 1/√5 + 1/5 + …
Bài 11: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: -3 + 0.3 – 0.03 + 0.003 – …
Bài 12: Tính tổng: 2 + √2 + 1 + 1/√2 + …
Alt text: Dãy số 2 + √2 + 1 + 1/√2 + … là một cấp số nhân lùi vô hạn, yêu cầu tính tổng.
Bài 13: Cho cấp số nhân lùi vô hạn sau: 1 + 1/4 + 1/16 + … Tìm công bội q.
Alt text: Dãy số 1 + 1/4 + 1/16 + … là một cấp số nhân lùi vô hạn, cần xác định giá trị của công bội q.
Bài 14: Tìm tổng của dãy số sau: 1 – 1/10 + 1/100 – 1/1000 + …
Alt text: Dãy số 1 – 1/10 + 1/100 – 1/1000 + … là một cấp số nhân lùi vô hạn với dấu xen kẽ, yêu cầu tính tổng.
Bài 15: Cho dãy số (un) với un = 1/2 – 1/4 + 1/8 – … + (-1)n-1(1/2)n. Tính tổng của dãy un khi n tiến tới vô cùng.
Alt text: Dãy số un được định nghĩa là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lùi vô hạn, yêu cầu tính tổng của dãy khi n tiến đến vô cùng.
Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và kỹ năng để giải quyết các bài toán liên quan đến tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Chúc bạn học tốt!
