Toán Vectơ Lớp 10: Lý Thuyết Tổng Hợp và Bài Tập Áp Dụng

1. Các Định Nghĩa Cơ Bản về Vectơ

1.1. Khái niệm Vectơ

Trong hình học, vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. Vectơ biểu diễn sự dịch chuyển từ điểm này sang điểm khác.

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Kí hiệu: Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $overrightarrow{AB}$.
Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

1.2. Vectơ Cùng Phương, Cùng Hướng và Vectơ Bằng Nhau

Vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Vectơ cùng hướng: Hai vectơ cùng phương và có chiều đi giống nhau.
Vectơ bằng nhau: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Kí hiệu: $overrightarrow{a} = overrightarrow{b}$.

1.3. Độ Dài của Vectơ và Vectơ Đơn Vị

Độ dài của vectơ: Khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Độ dài của $overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là $| overrightarrow{AB} | = AB$.
Vectơ đơn vị: Vectơ có độ dài bằng 1.

1.4. Vectơ – Không

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu: $overrightarrow{0}$. Vectơ này có độ dài bằng 0 và không có hướng xác định.

2. Tổng và Hiệu của Hai Vectơ

2.1. Tổng của Hai Vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $overrightarrow{AB} = overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{BC} = overrightarrow{b}$. Vectơ $overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Kí hiệu: $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = overrightarrow{AC}$.

2.2. Quy Tắc Hình Bình Hành

Nếu ABCD là hình bình hành, thì $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} = overrightarrow{AC}$.

2.3. Tính Chất của Phép Cộng Vectơ

Với ba vectơ $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$, $overrightarrow{c}$ tùy ý, ta có:

Tính chất giao hoán: $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = overrightarrow{b} + overrightarrow{a}$.
Tính chất kết hợp: $(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}) + overrightarrow{c} = overrightarrow{a} + (overrightarrow{b} + overrightarrow{c})$.
Tính chất của vectơ – không: $overrightarrow{a} + overrightarrow{0} = overrightarrow{a}$.

2.4. Hiệu của Hai Vectơ

Vectơ đối: Cho vectơ $overrightarrow{a}$. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $overrightarrow{a}$ được gọi là vectơ đối của $overrightarrow{a}$, kí hiệu là $-overrightarrow{a}$.
Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Hiệu của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là vectơ $overrightarrow{a} – overrightarrow{b} = overrightarrow{a} + (-overrightarrow{b})$.

2.5. Ứng Dụng của Tổng và Hiệu Vectơ

Trung điểm của đoạn thẳng: Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $overrightarrow{IA} + overrightarrow{IB} = overrightarrow{0}$.
Trọng tâm của tam giác: Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}$.

3. Tích của Vectơ với Một Số

3.1. Định Nghĩa

Cho số $k neq 0$ và vectơ $overrightarrow{a}$. Tích của vectơ $overrightarrow{a}$ với số k là một vectơ, kí hiệu là $koverrightarrow{a}$, cùng hướng với $overrightarrow{a}$ nếu $k > 0$, ngược hướng với $overrightarrow{a}$ nếu $k < 0$, và có độ dài bằng $|k| |overrightarrow{a}|$. Nếu $k = 0$ thì $koverrightarrow{a} = overrightarrow{0}$.

3.2. Tính Chất

Với hai vectơ $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có:

$k(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}) = koverrightarrow{a} + koverrightarrow{b}$.
$(h + k)overrightarrow{a} = hoverrightarrow{a} + koverrightarrow{a}$.
$h(koverrightarrow{a}) = (hk)overrightarrow{a}$.
$1overrightarrow{a} = overrightarrow{a}$.
$(-1)overrightarrow{a} = -overrightarrow{a}$.

3.3. Ứng Dụng

Trung điểm của đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có $overrightarrow{MI} = frac{1}{2}(overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB})$.
Trọng tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có $overrightarrow{MA} + overrightarrow{MB} + overrightarrow{MC} = 3overrightarrow{MG}$.

3.4. Điều Kiện để Hai Vectơ Cùng Phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng phương là có một số k để $overrightarrow{a} = koverrightarrow{b}$.

3.5. Phân Tích Một Vectơ Theo Hai Vectơ Không Cùng Phương

Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ $overrightarrow{x}$ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho $overrightarrow{x} = hoverrightarrow{a} + koverrightarrow{b}$.

4. Hệ Trục Tọa Độ

4.1. Trục Tọa Độ và Độ Dài Đại Số trên Trục

Trục tọa độ: Đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị $overrightarrow{i}$. Kí hiệu: $(O; overrightarrow{i})$.
Tọa độ của một điểm trên trục: Với M là một điểm tùy ý trên trục $(O; overrightarrow{i})$, có duy nhất một số k sao cho $overrightarrow{OM} = koverrightarrow{i}$. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
Độ dài đại số của vectơ: Cho hai điểm A và B trên trục $(O; overrightarrow{i})$. Khi đó có duy nhất số a sao cho $overrightarrow{AB} = aoverrightarrow{i}$. Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ $overrightarrow{AB}$ đối với trục đã cho và kí hiệu $a = overline{AB}$.

4.2. Hệ Trục Tọa Độ Oxy

Định nghĩa: Hệ trục tọa độ $(O; overrightarrow{i}; overrightarrow{j})$ gồm hai trục $(O;overrightarrow{i})$ và $(O;overrightarrow{j})$ vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục $(O;overrightarrow{i})$ được gọi là trục hoành (Ox), trục $(O;overrightarrow{j})$ được gọi là trục tung (Oy). Các vectơ $overrightarrow{i}$ và $overrightarrow{j}$ là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy.
Tọa độ của vectơ: Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ $overrightarrow{u}$. Khi đó có duy nhất cặp số (x; y) để $overrightarrow{u} = xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j}$. Cặp số (x; y) đó được gọi là tọa độ của vectơ $overrightarrow{u}$ đối với hệ tọa độ Oxy và viết $overrightarrow{u} = (x; y)$. Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ $overrightarrow{u}$.
Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ $overrightarrow{OM}$ đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó. Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi $overrightarrow{OM} = xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j}$. Khi đó ta viết $M(x; y)$.

4.3. Liên Hệ Giữa Tọa Độ Điểm và Vectơ

Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$. Ta có:

$overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)$

4.4. Công Thức Tọa Độ

Tọa độ của tổng và hiệu hai vectơ:
- $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$, $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$
- $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$
- $overrightarrow{a} – overrightarrow{b} = (x_1 – x_2; y_1 – y_2)$
Tọa độ của tích một số với vectơ:
- $overrightarrow{a} = (x; y)$
- $koverrightarrow{a} = (kx; ky)$

4.5. Tọa Độ Trung Điểm và Trọng Tâm

Tọa độ trung điểm: Cho đoạn thẳng AB có $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$. Tọa độ trung điểm $I(x_I, y_I)$ của đoạn thẳng AB là:
$x_I = frac{x_A + x_B}{2}$, $y_I = frac{y_A + y_B}{2}$
Tọa độ trọng tâm: Cho tam giác ABC có $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$. Tọa độ của trọng tâm $G(x_G, y_G)$ của tam giác ABC là:
$x_G = frac{x_A + x_B + x_C}{3}$, $y_G = frac{y_A + y_B + y_C}{3}$