Bài viết này cung cấp kiến thức đầy đủ về Toán Tỉ Lệ Nghịch lớp 7, bao gồm định nghĩa, tính chất, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện có đáp án, giúp học sinh nắm vững và áp dụng thành thạo.
1. Định Nghĩa và Tính Chất của Đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch
a) Định nghĩa:
Hai đại lượng x và y được gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu chúng liên hệ với nhau bởi công thức:
y = a/xhoặcx.y = a
Trong đó, a là một hằng số khác 0, được gọi là hệ số tỉ lệ.
Ví dụ: Vận tốc và thời gian trên cùng một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
b) Tính chất:
Nếu y và x là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, thì:
- Tích của hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ:
x1.y1 = x2.y2 = x3.y3 = ... = a - Tỉ số giữa hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
x1/x2 = y2/y1,x1/x3 = y3/y1, …
2. Ví Dụ Minh Họa Về Toán Tỉ Lệ Nghịch
Ví dụ 1: Một người đi xe máy từ A đến B mất 4 giờ với vận tốc 40 km/h. Nếu người đó muốn đến B sớm hơn 1 giờ, thì phải đi với vận tốc bao nhiêu?
Giải:
Thời gian dự định đi là 4 giờ, nếu muốn đến sớm 1 giờ thì thời gian đi thực tế là 3 giờ.
Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:
40 * 4 = v * 3
=> v = 160/3 ≈ 53.33 km/h
Vậy, để đến B sớm hơn 1 giờ, người đó phải đi với vận tốc khoảng 53.33 km/h.
Ví dụ 2: Chia một số tiền thành ba phần tỉ lệ nghịch với 2, 3 và 4. Biết phần thứ nhất hơn phần thứ ba là 40.000 đồng. Tính số tiền được chia.
Giải:
Gọi số tiền của ba phần lần lượt là x, y, z (x, y, z > 0).
Theo đề bài, ta có: 2x = 3y = 4z và x - z = 40000
Từ 2x = 3y = 4z suy ra: x/(1/2) = y/(1/3) = z/(1/4)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
x/(1/2) = y/(1/3) = z/(1/4) = (x - z)/(1/2 - 1/4) = 40000/(1/4) = 160000
Do đó:
x = 160000 * (1/2) = 80000y = 160000 * (1/3) ≈ 53333.33z = 160000 * (1/4) = 40000
Vậy số tiền được chia là: 80000 + 53333.33 + 40000 ≈ 173333.33 đồng
3. Bài Tập Tự Luyện Về Toán Tỉ Lệ Nghịch (Có Đáp Án)
Bài 1: Nếu x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì hệ thức nào sau đây đúng?
A. x + y = a (a là hằng số)
B. x - y = a (a là hằng số)
C. x.y = a (a là hằng số khác 0)
D. x/y = a (a là hằng số khác 0)
Đáp án: C
Bài 2: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, khi x = 6 thì y = -15. Vậy khi x = -5 thì y bằng bao nhiêu?
Alt: Đồ thị minh họa quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng.
Giải:
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: 6*(-15) = (-5)*y
=> y = (6*(-15))/(-5) = 18
Đáp án: y = 18
Bài 3: Bốn người thợ cùng làm xong một công việc trong 6 giờ. Hỏi nếu có 6 người thợ (với năng suất tương đương) thì sẽ làm xong công việc đó trong bao lâu?
Giải:
Gọi thời gian 6 người thợ làm xong công việc là x (giờ).
Vì số người thợ và thời gian làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:
4 * 6 = 6 * x
=> x = (4*6)/6 = 4
Đáp án: 4 giờ
Bài 4: Cho bảng giá trị sau:
| x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 12 | 6 | 4 | 3 | 2.4 |
Hỏi x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có, hãy xác định hệ số tỉ lệ.
Giải:
Ta thấy: 2*12 = 4*6 = 6*4 = 8*3 = 10*2.4 = 24
Vì tích của các giá trị tương ứng của x và y là không đổi và bằng 24, nên x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 24.
Đáp án: x và y tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 24.
Bài 5: Cho y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là 12. Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Alt: Biểu thức toán học thể hiện quan hệ tỉ lệ nghịch.
Giải:
Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là 12, nên ta có: y = 12/x hay x*y = 12
Suy ra: x = 12/y
Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 12.
Đáp án: 12
Bài 6: Một đội sản xuất có 15 công nhân, dự định hoàn thành công việc trong 20 ngày. Nếu muốn hoàn thành công việc đó trong 12 ngày, thì cần bao nhiêu công nhân? (Giả sử năng suất của mỗi công nhân là như nhau).
Giải:
Gọi số công nhân cần thiết để hoàn thành công việc trong 12 ngày là x (công nhân).
Vì số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:
15 * 20 = x * 12
=> x = (15*20)/12 = 25
Vậy cần 25 công nhân để hoàn thành công việc trong 12 ngày.
Đáp án: 25 công nhân
Bài 7: Cho biết z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 5, y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là 2. Hỏi z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với x và hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?
Alt: Minh họa bài toán về số người và thời gian hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch.
Giải:
Ta có: z = 5/y và y = 2/x
Thay y vào biểu thức của z, ta được: z = 5/(2/x) = (5/2) * x
Vậy z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 5/2.
Đáp án: Tỉ lệ thuận, hệ số tỉ lệ là 5/2
Bài 8: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h mất 3 giờ. Nếu ô tô đó đi với vận tốc 60 km/h thì sẽ đến B sau bao lâu?
Giải:
Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
50 * 3 = 60 * t
=> t = (50*3)/60 = 2.5
Vậy ô tô đi với vận tốc 60 km/h sẽ đến B sau 2.5 giờ (2 giờ 30 phút).
Đáp án: 2.5 giờ
Bài 9: Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy, biết rằng tổng số máy của ba đội là 39? (Giả sử năng suất của các máy là như nhau).
Giải:
Gọi số máy của ba đội lần lượt là x, y, z (x, y, z > 0).
Vì khối lượng công việc của ba đội là như nhau, nên số máy và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Ta có:
4x = 6y = 8z hay x/(1/4) = y/(1/6) = z/(1/8)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
x/(1/4) = y/(1/6) = z/(1/8) = (x + y + z)/(1/4 + 1/6 + 1/8) = 39/(13/24) = 72
Do đó:
x = 72 * (1/4) = 18y = 72 * (1/6) = 12z = 72 * (1/8) = 9
Vậy số máy của ba đội lần lượt là 18, 12 và 9.
Đáp án: 18, 12, 9
Bài 10: Tìm hai số x và y biết rằng x/2 = y/3 và x*y = 54.
Alt: Các bước giải toán tỉ lệ nghịch bằng tỉ lệ thức.
Giải:
Từ x/2 = y/3 suy ra x = (2/3)*y
Thay vào x*y = 54, ta có: (2/3)*y * y = 54
=> y^2 = 54 * (3/2) = 81
=> y = 9 hoặc y = -9
Với y = 9 thì x = (2/3)*9 = 6
Với y = -9 thì x = (2/3)*(-9) = -6
Vậy (x, y) = (6, 9) hoặc (x, y) = (-6, -9)
Đáp án: (6, 9) hoặc (-6, -9)
4. Ứng Dụng Của Toán Tỉ Lệ Nghịch Trong Thực Tế
Toán tỉ lệ nghịch có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Tính toán thời gian và vận tốc di chuyển.
- Phân chia công việc cho các đội nhóm.
- Tính toán lượng nguyên liệu cần thiết trong sản xuất.
- Giải các bài toán liên quan đến năng suất và thời gian.
Hiểu rõ về toán tỉ lệ nghịch giúp chúng ta giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả hơn.
