Đại lượng tỉ lệ nghịch là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 7. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về đại lượng tỉ lệ nghịch, các tính chất và ứng dụng của nó trong giải toán. Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua các ví dụ cụ thể và bài tập vận dụng để hiểu rõ hơn về chủ đề này.
1. Định nghĩa Đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch
Hai đại lượng được gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu tích của chúng là một hằng số khác 0. Nói cách khác, nếu x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:
x y = a (với a là hằng số khác 0)
Hoặc y = a/ x
Trong đó a được gọi là hệ số tỉ lệ nghịch.
Hình ảnh minh họa khái niệm đại lượng tỉ lệ nghịch, nhấn mạnh mối quan hệ nghịch biến giữa hai đại lượng.
Ví dụ:
- Vận tốc và thời gian khi đi trên một quãng đường cố định là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Nếu vận tốc tăng thì thời gian giảm và ngược lại.
- Số lượng công nhân và thời gian hoàn thành công việc (khi năng suất làm việc như nhau) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Nếu số lượng công nhân tăng thì thời gian hoàn thành công việc giảm.
2. Tính Chất Của Đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch
Nếu hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau, ta có các tính chất sau:
- Tích của hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi: x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = … = a (hằng số)
- Tỉ số giữa hai giá trị của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
x1 / x2 = y2 / y1
Hình ảnh thể hiện công thức toán học của đại lượng tỉ lệ nghịch, làm rõ mối quan hệ giữa các biến số.
Ví dụ:
Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, khi x = 4 thì y = 6.
a) Tìm hệ số tỉ lệ.
b) Hãy biểu diễn y theo x.
c) Tính giá trị của y khi x = 8 và giá trị của x khi y = 3.
Giải:
a) Gọi hệ số tỉ lệ là a. Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x y = a.
Thay x = 4 và y = 6, ta có: 4 6 = a => a* = 24
Vậy hệ số tỉ lệ là 24.
b) Biểu diễn y theo x: y = 24 / x
c) Khi x = 8 thì y = 24 / 8 = 3.
Khi y = 3 thì x = 24 / 3 = 8.
3. Ứng Dụng Của Đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch Trong Giải Toán
Đại lượng tỉ lệ nghịch được ứng dụng rộng rãi trong giải các bài toán thực tế. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1: Chia một số thành các phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước.
Ví dụ:
Ba đội máy cày làm trên ba cánh đồng có diện tích lần lượt là 12 ha, 10 ha và 8 ha. Biết rằng số máy cày của các đội tỉ lệ nghịch với thời gian làm việc và ba đội có cùng năng suất. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết tổng số máy cày của ba đội là 30 máy.
Giải:
Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là x, y, z (máy) (x, y, z ∈ N*).
Theo đề bài, ta có: x + y + z = 30
Vì số máy cày tỉ lệ nghịch với thời gian làm việc nên ta có:
12x = 10y = 8z
Hay: x / (1/12) = y / (1/10) = z / (1/8)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x / (1/12) = y / (1/10) = z / (1/8) = (x + y + z) / (1/12 + 1/10 + 1/8) = 30 / (37/120) = 30 * (120/37)
=> x = (30 120) / (37 12) = …
=> y = …
=> z = …
Hình ảnh minh họa bài toán ứng dụng thực tế của đại lượng tỉ lệ nghịch, giúp học sinh hình dung cách giải quyết vấn đề.
Dạng 2: Bài toán liên quan đến năng suất, thời gian và khối lượng công việc.
Ví dụ:
Một đội sản xuất cần hoàn thành một công việc trong một thời gian nhất định. Nếu đội tăng năng suất lên 20% thì sẽ hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, đội phải làm trong bao nhiêu ngày?
Giải:
(Hướng dẫn: Gọi số ngày theo kế hoạch là x. Năng suất ban đầu là 1. Năng suất sau khi tăng là 1.2. Vì năng suất và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta lập được phương trình và giải).
4. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức về đại lượng tỉ lệ nghịch, bạn hãy làm các bài tập sau:
- Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Biết x = 5, y = 8. Tìm hệ số tỉ lệ và viết công thức liên hệ giữa x và y.
- Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ và người thứ ba làm trong 8 giờ thì xong việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì mất bao lâu để hoàn thành công việc, biết năng suất của mỗi người là như nhau?
- Một xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h thì hết 6 giờ. Hỏi nếu xe đi với vận tốc 60 km/h thì hết bao nhiêu giờ?
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Toán Lớp 7 Bài 8 đại Lượng Tỉ Lệ Nghịch. Chúc bạn học tốt!