Toán 9 Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai: Bài Tập và Phương Pháp Giải

Trong chương trình Toán 9, việc rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp các phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng này.

Phương Pháp Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Thức Bậc Hai

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta thường thực hiện các bước sau:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Sử dụng công thức √(A²B) = |A|√B với B ≥ 0.
Đưa thừa số vào trong dấu căn: Sử dụng công thức A√B = √(A²B) với B ≥ 0.
Khử căn ở mẫu: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp để loại bỏ căn ở mẫu. Ví dụ: A/√B = (A√B)/B.
Trục căn thức ở mẫu: Sử dụng các công thức như A/(√m ± √n) = A(√m ∓ √n)/(m - n).
Cộng, trừ các căn thức đồng dạng: Chỉ cộng hoặc trừ các căn thức có cùng phần căn.

Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức 3√32 + 5√50 - √28 + √18.

Giải:

3√32 + 5√50 - √28 + √18 = 3√(16*2) + 5√(25*2) - √(4*7) + √(9*2) = 3*4√2 + 5*5√2 - 2√7 + 3√2 = 12√2 + 25√2 - 2√7 + 3√2 = 40√2 - 2√7.

Hình ảnh minh họa các bước biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

Ví dụ 2: Cho biểu thức P = (x - 1)/√x : (x - 1)/(√x + 1) - x/(x + √x).

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x = 2/(2 + √3).

c) Tìm x thỏa mãn P√x = 6√x - 3 - (x - 4).

Giải:

a) Rút gọn biểu thức P:

P = (x - 1)/√x : [(x - 1)/(√x + 1) - x/(x + √x)]

= (x - 1)/√x : [(x - 1)/(√x + 1) - √x/(√x + 1)]

= (x - 1)/√x : [(x - 1 - √x)/(√x + 1)]

= (x - 1)/√x * (√x + 1)/(x - √x - 1)

= [(√x - 1)(√x + 1)]/√x * (√x + 1)/(x - √x - 1)

= (√x + 1)/√x.

Hình ảnh thể hiện quá trình rút gọn biểu thức đại số chứa căn.

b) Tính giá trị của P khi x = 2/(2 + √3) = 2(2 - √3)/(4 - 3) = 4 - 2√3.

√x = √(4 - 2√3) = √(3 - 2√3 + 1) = √(√3 - 1)² = |√3 - 1| = √3 - 1.

P = (√x + 1)/√x = (√3 - 1 + 1)/(√3 - 1) = √3/(√3 - 1) = √3(√3 + 1)/(3 - 1) = (3 + √3)/2.

Hình ảnh minh họa cách thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn để tính toán.

Bài Tập Trắc Nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức √(2 + √3) * √(2 + √(2 + √3)) * √(2 - √(2 + √3)) là?

A. 1 B. √2 C. 2 D. √3

Câu 2: Rút gọn biểu thức (√a - √b)² + 2√(ab) với a, b ≥ 0 ta được:

A. a – b B. a + b C. (a – b)² D. (a + b)²

Câu 3: Rút gọn biểu thức (1/(x - √x) + 1/(√x - 1)) : (√x + 1)/(x - 2√x + 1) với x > 0 và x ≠ 1.

A. √x B. x C. 1/√x D. 1

Câu 4: Giá trị của biểu thức √(49/3) - 2√(25/3) + 2√(16/3) là:

A. √3/3 B. 2√3/3 C. 3√3/3 D. 4√3/3

Câu 5: Rút gọn biểu thức (a√a + b√b)/(√a + √b) - √(ab) ta được:

A. a + b B. a – b C. (a + b)² D. (a – b)²

Câu 6: Rút gọn biểu thức (√x/(√x - 1) - 1/(x - √x)) : (1/(√x + 1) + 2/(x - 1)) ta được:

A. √x – 1 B. √x + 1 C. 1/(√x – 1) D. 1/(√x + 1)

Câu 7: Rút gọn biểu thức √(4 + 2√3) - √(4 - 2√3) ta được:

A. 1 B. 2 C. √3 D. 2√3

Câu 8: Rút gọn biểu thức (1/(√a - 1) - 1/√a) : (√a + 1)/(a - √a) (với a ≥ 0; a ≠ 1)

A. 1/(√a + 1) B. 1/(√a – 1) C. √a D. 1

Câu 9: Rút gọn biểu thức (x - √x)/(1 + √x) với x ≥ 0, x ≠ 1

A. √x B. -√x C. x D. -x

Câu 10: Rút gọn biểu thức (√x + 1)/(x - 1) với x ≥ 0, x ≠ 1

A. 1/(√x – 1) B. 1/(√x + 1) C. √x – 1 D. √x + 1

Câu 11: Giá trị biểu thức √(9 - 4√5) + √(14 + 6√5) là:

A. 6 B. 4 C. 2 D. 3

Câu 12: Rút gọn biểu thức √(a²(3 - √5)²) với a > 0 ta được:

A. a(3 – √5) B. a(√5 – 3) C. -a(3 – √5) D. -a(√5 – 3)

Câu 13: Rút gọn biểu thức √(4 + √7) - √(4 - √7) - √2 ta được:

A. 1 B. 2 C. 0 D. -1

Câu 14: Đẳng thức nào dưới đây là đúng:

A. √(a² + 2a + 1) = a + 1 B. √(a² - 2a + 1) = |a - 1| C. √(a²) = a D. √(a⁴) = a²

Câu 15: Với a, b > 0, đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. √(a/b) = √a/√b B. √(a/b) = √a/b C. √(a/b) = a/√b D. √(a/b) = a/b

Các bài tập trắc nghiệm trên giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Hãy thử sức và kiểm tra đáp án để nắm vững hơn về chủ đề này.

Hình ảnh một bài tập trắc nghiệm về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Bài Tập Tự Luyện

Rút gọn các biểu thức sau:

a) √12 + √4.5 + √12.5
b) √96 - 6√2/3 + 3√3 + 6√1/3 - √108 - 4√6
Rút gọn biểu thức:

a) 2√(27/4) - 4√(48/9) - 2√(75/16)
b) √99 - √18 - √(11.11) + 3√22
c) (5 + √3) * √8 - 2√15
d) √(48) - 2√3 + √24.5 - 2√(45/3)
Chứng minh các đẳng thức sau:

a) 2√3 - √6/√8 - 2 - 2/(√16/3) * √16 = -3/2
b) (1 - a)/(√a(1 - √a)) + √a/(1 - √a) * (1 - √a)² = 1 với a ≥ 0, a ≠ 1
Với a > 0, các biểu thức sau được rút gọn:

a) 5√a + 6√a/4 - a/4√a + 5
b) 2√a - 9a/3 + a²/4√a + 2a²/25a⁵
Cho biểu thức N = (2x - 9)/(x - 5√x + 6) - (√x + 3)/(√x - 2) - (2√x + 1)/(3 - √x)

a) Rút gọn biểu thức N.
b) Tính giá trị của N khi x = 11 - 6√2.
c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.
Nối cột A với cột B (bài tập ghép cặp).
Với a≥0, b≥0 hãy rút gọn biểu thức A = 5√a - 4b√(25a³ + 5a√(16ab²) - 9a).
Các đẳng thức dưới đây được chứng minh đúng hay sai?
Với a > 0, cho hai biểu thức A = 1/(x + √x) + √x/(x + 1) và B = √x/(x + √x).

a) Tính giá trị của A khi x = 4.
b) Tìm các giá trị thực của x để B = 1/3.
c) So sánh B với 1.
Cho biểu thức:

P = (1/(√x - 1) - 2√x/(x - √x) + (√x - 1)/(√x + 1)) : (√x + x)/(x + √x) + (√x + 1)/(x + 1) với x ≥ 0, x ≠ 1

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P < 1/2.
c) Tìm x nguyên để P nguyên.

Kết Luận

Việc nắm vững các phương pháp và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tự tin chinh phục các bài toán liên quan đến chủ đề này trong chương trình Toán 9.