Bài viết này tập trung vào Toán 10 Bài 11 thuộc chương trình Kết nối tri thức, đi sâu vào khái niệm tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ, biểu thức tọa độ và các ứng dụng quan trọng. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá từ lý thuyết cơ bản đến các bài tập vận dụng, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan.
1. Góc Giữa Hai Vectơ
Góc giữa hai vectơ là một khái niệm nền tảng để hiểu về tích vô hướng. Góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ được ký hiệu là $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$.
Alt text: Hình ảnh minh họa góc alpha giữa hai vectơ a và b trong không gian hai chiều, sử dụng cho bài học toán 10 về tích vô hướng.
Cách xác định:
- Đặt gốc của hai vectơ trùng nhau.
- Góc giữa hai vectơ là góc tạo bởi hai tia chứa hai vectơ đó, có giá trị từ 0 đến 180 độ.
Lưu ý: Nếu một trong hai vectơ là vectơ không, góc giữa hai vectơ không xác định.
2. Tích Vô Hướng của Hai Vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là một số thực, được ký hiệu là $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}$, được tính theo công thức:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = |overrightarrow{a}|.|overrightarrow{b}|.cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$
Trong đó:
- $|overrightarrow{a}|$ và $|overrightarrow{b}|$ là độ dài của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
- $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$ là góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
Ý nghĩa hình học: Tích vô hướng liên quan đến hình chiếu của một vectơ lên vectơ còn lại.
3. Biểu Thức Tọa Độ và Tính Chất của Tích Vô Hướng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$. Khi đó, tích vô hướng của hai vectơ được tính theo công thức:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
Alt text: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vector a(x1, y1) và b(x2, y2) trên mặt phẳng Oxy, công cụ quan trọng trong toán 10.
Tính chất của tích vô hướng:
- $overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = overrightarrow{b}.overrightarrow{a}$ (Tính chất giao hoán)
- $overrightarrow{a}.(overrightarrow{b} + overrightarrow{c}) = overrightarrow{a}.overrightarrow{b} + overrightarrow{a}.overrightarrow{c}$ (Tính chất phân phối)
- $(koverrightarrow{a}).overrightarrow{b} = k(overrightarrow{a}.overrightarrow{b})$ (Với k là một số thực)
- $overrightarrow{a}^2 = |overrightarrow{a}|^2$
- $overrightarrow{a} perp overrightarrow{b} Leftrightarrow overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = 0$ (Điều kiện vuông góc)
Ứng dụng của tích vô hướng:
- Tính góc giữa hai vectơ.
- Xác định tính vuông góc của hai vectơ.
- Tính độ dài của vectơ.
- Giải các bài toán liên quan đến hình học phẳng, đặc biệt là tam giác và tứ giác.
4. Bài Tập Vận Dụng Toán 10 Bài 11
Để nắm vững kiến thức về tích vô hướng, chúng ta cần luyện tập giải các bài tập. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1: Tính tích vô hướng khi biết độ dài và góc giữa hai vectơ:
Ví dụ: Cho $|overrightarrow{a}| = 3$, $|overrightarrow{b}| = 4$, $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 60^circ$. Tính $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}$.
Giải:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = |overrightarrow{a}|.|overrightarrow{b}|.cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = 3.4.cos(60^circ) = 3.4.frac{1}{2} = 6$
Dạng 2: Tính tích vô hướng khi biết tọa độ của hai vectơ:
Ví dụ: Cho $overrightarrow{a} = (1; 2)$, $overrightarrow{b} = (3; -1)$. Tính $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}$.
Giải:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = 1.3 + 2.(-1) = 3 – 2 = 1$
Dạng 3: Chứng minh hai vectơ vuông góc:
Ví dụ: Cho $overrightarrow{a} = (2; -1)$, $overrightarrow{b} = (1; 2)$. Chứng minh $overrightarrow{a} perp overrightarrow{b}$.
Giải:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = 2.1 + (-1).2 = 2 – 2 = 0$
Vì $overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = 0$ nên $overrightarrow{a} perp overrightarrow{b}$.
Dạng 4: Ứng dụng tích vô hướng để giải bài toán hình học:
Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(2; 3), C(4; -1). Tính góc BAC.
Giải:
- Tính $overrightarrow{AB} = (1; 2)$, $overrightarrow{AC} = (3; -2)$.
- Tính $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} = 1.3 + 2.(-2) = -1$.
- Tính $|overrightarrow{AB}| = sqrt{1^2 + 2^2} = sqrt{5}$, $|overrightarrow{AC}| = sqrt{3^2 + (-2)^2} = sqrt{13}$.
- $cos(overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}) = frac{overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AB}|.|overrightarrow{AC}|} = frac{-1}{sqrt{5}.sqrt{13}} = frac{-1}{sqrt{65}}$.
- Suy ra góc BAC = $arccos(frac{-1}{sqrt{65}})$.
Lưu ý: Khi giải bài tập, cần nắm vững định nghĩa, công thức và tính chất của tích vô hướng. Ngoài ra, cần vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung và giải quyết bài toán.
Alt text: Bài toán ví dụ về ứng dụng tích vô hướng để tìm góc trong tam giác ABC, minh họa phương pháp giải toán hình học 10.
5. Tài Liệu Tham Khảo Thêm
Để học tốt toán 10 bài 11, các em học sinh nên tham khảo thêm các tài liệu sau:
- Sách giáo khoa Toán 10 (Kết nối tri thức).
- Sách bài tập Toán 10 (Kết nối tri thức).
- Các trang web, diễn đàn học tập trực tuyến.
Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ. Chúc các em học tốt!
