Lý thuyết cơ bản về tọa độ vectơ
1. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ
Trục tọa độ là đường thẳng xác định bởi một điểm gốc O và một vectơ đơn vị e→ có độ dài bằng 1. Ký hiệu: (O;e→).
Hệ trục tọa độ (O;i→,j→) gồm hai trục vuông góc nhau (O;i→) và (O;j→). Điểm O là gốc tọa độ. Trục Ox (O;i→) là trục hoành, trục Oy (O;j→) là trục tung. i→ và j→ là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy. Hệ trục tọa độ còn được ký hiệu là Oxy.
Alt text: Hệ trục tọa độ Oxy, trục hoành Ox với vector đơn vị i, trục tung Oy với vector đơn vị j, gốc tọa độ O.
Chú ý: Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy.
2. Tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Oxy
Trong mặt phẳng Oxy, nếu a→=xi→+yj→ thì cặp số (x; y) là tọa độ của vectơ a→, ký hiệu a→=(x;y). x là hoành độ, y là tung độ của a→.
Ví dụ:
Nếu a→=3i→+2j→ thì a→=(3;2).
Nếu p→=−5j→=0i→−5j→ thì p→=(0;−5).
Lưu ý: a→=(x;y)⇔a→=xi→+yj→.
Alt text: Phân tích vectơ a thành tổng của hai vectơ xi và yj trên hệ trục Oxy, thể hiện Tọa độ Vectơ.
Ví dụ: h→=(−1;7)⇔h→=−1.i→+7j→=−i→+7j→.
Alt text: Xác định tọa độ của vectơ a bằng cách chiếu vectơ lên trục Ox và Oy, thu được tọa độ (2, -4).
Vậy a→=(2;−4).
3. Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng Oxy
Tọa độ của vectơ OM→ (với M là một điểm bất kỳ) được gọi là tọa độ của điểm M.
Alt text: Liên hệ giữa tọa độ điểm M và tọa độ vectơ OM trong mặt phẳng Oxy, nhấn mạnh khái niệm gốc tọa độ.
Nhận xét:
Nếu OM→=(x;y) thì M(x; y), x là hoành độ, y là tung độ của M.
M(x; y) ⇔OM→=xi→+yj→.
Ví dụ:
Nếu OM→=(−3;8) thì M(−3; 8).
M(4; 9) ⇔OM→=4i→+9j→.
Ký hiệu: Hoành độ của M là xM, tung độ của M là yM, viết M(xM; yM).
Ví dụ: Xác định tọa độ các điểm M, N, P trên hình vẽ sau:
Alt text: Đọc tọa độ các điểm M(2, 3), N(-3, 1), P(1, -2) từ hình vẽ trên hệ trục tọa độ Oxy.
a) Biểu diễn OM→,ON→,OP→ qua i→ và j→.
b) Tìm tọa độ của m→,n→,p→ và các điểm M, N, P.
Giải:
a) OM→=2i→+3j→, ON→=−3i→+j→, OP→=i→−2j→.
b) m→=(2;3),n→=(−3;1),p→=(1;−2). Vậy M(2; 3), N(–3; 1), P(1; –2).
4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho a→=(a1;a2),b→=(b1;b2) và số thực k:
Alt text: Tổng hợp công thức tính tọa độ vectơ khi thực hiện phép cộng, trừ vectơ và nhân vectơ với một số thực.
Ví dụ: Cho a→=(10;−8),b→=(2;5).
a) Tìm tọa độ của 2a→,−4b→,2a→−4b→.
b) Tính a→.b→ và 2a→.−4b→.
Giải:
a) 2a→=(20;−16),−4b→=(−8;−20),2a→−4b→=(12;4).
b) a→.b→=10.2+−8.5=−20; 2a→.−4b→=20.(−8)+−16.(−20)=160.
5. Ứng dụng của tọa độ vectơ
5.1. Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ
Cho A(xA; yA), B(xB; yB) thì AB→=(xB−xA;yB−yA).
Ví dụ: Cho A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7). Tìm AC→,CB→,BA→.
Giải: AC→=(3;−12),CB→=(−6;8),BA→=(3;4).
Alt text: Minh họa công thức tính tọa độ vectơ AB khi biết tọa độ điểm đầu A và điểm cuối B.
5.2. Tọa độ trung điểm và trọng tâm
Trung điểm M(xM; yM) của AB (A(xA; yA), B(xB; yB)): xM=xA+xB2,yM=yA+yB2.
Trọng tâm G(xG; yG) của ∆ABC (A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC)): xG=xA+xB+xC3,yG=yA+yB+yC3.
Ví dụ: Cho ∆DEF có D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4).
a) Tìm tọa độ trung điểm H của EF.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆DEF.
Giải:
a) H(7; 6).
b) G173;133.
5.3. Ứng dụng biểu thức tọa độ của vectơ
Cho a→=(a1;a2),b→=(b1;b2) và A(xA; yA), B(xB; yB):
a→⊥b→⇔a1b1+a2b2=0;
a→ và b→ cùng phương ⇔ a1b2 – a2b1 = 0;
|a→|=a12+a22;
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2;
cosa→,b→=a→.b→|a→|.|b→|=a1b1+a2b2a12+a22.b12+b22 ( a→,b→≠0→).
Ví dụ: Cho ∆MNP có M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).
a) Tìm tọa độ H là chân đường cao từ N.
b) Giải tam giác MNP.
Giải:
a) H(247;117).
b) MN=34,MP=106,NP=234, M^≈88°7′,N^≈61°55′,P^≈29°57′.
Alt text: Hình vẽ tam giác MNP, đường cao NH và các yếu tố cần tính trong bài toán giải tam giác.
Bài tập vận dụng tọa độ vectơ
Bài 1. Cho i→=(1;0),j→=(0;1),a→=4i→−j→,b→=−i→+4j→,c→=−2i→+2j→.
a) Tìm tọa độ a→,b→,c→.
b) Tìm tọa độ u→=2a→−3b→+c→.
c) Tìm tọa độ v→ sao cho v→+a→=b→−c→.
d) Tìm h, k sao cho ki→+hj→=a→.
Hướng dẫn giải
a) a→=(4;−1),b→=(−1;4),c→=(−2;2).
b) u→=(15;−6).
c) v→=(−7;3).
d) k=4,h=−1.
Bài 2. Cho ∆ABC, A(–3; 2), B(4; 3), C thuộc Ox, G thuộc Oy (G là trọng tâm).
a) Tìm tọa độ G và C.
b) Giải ∆ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm H.
Hướng dẫn giải
a) G0;53,C−1;0.
b) AB=52,AC=22,BC=34, A^≈53°8′,B^≈22°50′,C^≈104°2′.
c) H−34;−74.
Bài 3. Cho a→=(1;2),b→=(−3;1),c→=(6;5). Tìm m để u→=ma→+b→ cùng phương với c→.
Hướng dẫn giải
m = –3.
