Tọa Độ Trực Tâm Tam Giác: Phương Pháp Giải và Bài Tập

Trong hình học phẳng, trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao. Việc xác định Tọa độ Trực Tâm Tam Giác là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải chi tiết và một ví dụ minh họa.

Phương pháp xác định tọa độ trực tâm tam giác

Cho tam giác ABC với các đỉnh có tọa độ A(xA; yA), B(xB; yB), và C(xC; yC). Để tìm tọa độ trực tâm H(xH; yH), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của các cạnh:

   • AB→ = (xB - xA; yB - yA)
   • AC→ = (xC - xA; yC - yA)
   • BC→ = (xC - xB; yC - yB)

2. Tìm vectơ pháp tuyến của các đường cao:
   Đường cao AH vuông góc với BC, đường cao BH vuông góc với AC, đường cao CH vuông góc với AB. Sử dụng tính chất tích vô hướng của hai vectơ vuông góc bằng 0, ta có thể tìm vectơ pháp tuyến của các đường cao.

3. Viết phương trình các đường cao:

   • Đường cao AH đi qua A(xA; yA) và có vectơ pháp tuyến là BC→
   • Đường cao BH đi qua B(xB; yB) và có vectơ pháp tuyến là AC→
   • Đường cao CH đi qua C(xC; yC) và có vectơ pháp tuyến là AB→

   Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến n→(a; b) là:

   a(x - x0) + b(y - y0) = 0

4. Tìm tọa độ trực tâm H:

   Giải hệ phương trình gồm hai trong ba phương trình đường cao trên để tìm tọa độ giao điểm H(xH; yH). Giao điểm này chính là trực tâm của tam giác ABC.

Ví dụ minh họa

Cho tam giác ABC có A(-1; 1), B(3; 1), C(2; 4). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Alt: Tam giác ABC trên hệ trục tọa độ Oxy với các đỉnh A(-1;1), B(3;1), C(2;4) dùng để minh họa bài toán tìm tọa độ trực tâm.

Giải:

1. Tìm vectơ chỉ phương của các cạnh:

   • AB→ = (3 - (-1); 1 - 1) = (4; 0)
   • AC→ = (2 - (-1); 4 - 1) = (3; 3)
   • BC→ = (2 - 3; 4 - 1) = (-1; 3)

2. Viết phương trình đường cao AH và BH:

   • Đường cao CH vuông góc AB, có phương trình dạng:
     1(x-2) + 0(y-4) = 0 hay x - 2 = 0
   • Đường cao BH vuông góc AC, có phương trình dạng:
     3(x-3) + 3(y-1) = 0 hay x - 3 + y - 1 = 0 hay x + y - 4 = 0

3. Tìm tọa độ trực tâm H:

   Giải hệ phương trình:

   x - 2 = 0
x + y - 4 = 0

   Từ phương trình thứ nhất, ta có x = 2. Thay vào phương trình thứ hai, ta được 2 + y - 4 = 0 => y = 2.

   Vậy tọa độ trực tâm H là (2; 2).

Alt: Vị trí trực tâm H(2;2) trong tam giác ABC, thể hiện giao điểm của các đường cao AH, BH, CH minh họa cho bài toán tìm tọa độ trực tâm.

Kết luận

Việc xác định tọa độ trực tâm tam giác là một bài toán cơ bản trong hình học giải tích. Bằng cách nắm vững phương pháp và áp dụng các kiến thức về vectơ và phương trình đường thẳng, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán này. Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn đọc một cái nhìn tổng quan và hữu ích về tọa độ trực tâm tam giác.