Hệ Trục Tọa Độ Oxyz
Trong không gian ba chiều, chúng ta sử dụng hệ trục Tọa độ Oxyz để xác định vị trí của các điểm và vectơ. Hệ trục này bao gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một, giao nhau tại gốc tọa độ O. Mỗi trục có một vectơ đơn vị tương ứng là i→, j→, k→. Đây là nền tảng cơ bản để làm việc với tọa độ Oxyz.
Chú ý: Hệ trục tọa độ Oxyz cho phép biểu diễn mọi điểm và vectơ trong không gian bằng các bộ số duy nhất.
Tọa Độ của Vectơ trong Oxyz
Mỗi vectơ u→ trong không gian Oxyz có thể được biểu diễn dưới dạng một bộ ba số (x; y; z), gọi là tọa độ của vectơ. Tức là:
u→ = (x; y; z) ⇔ u→ = xi→ + yj→ + zk→
Các phép toán trên vectơ cũng được thực hiện dễ dàng thông qua tọa độ:
- Cộng/trừ vectơ: a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
- Nhân vectơ với một số: ka→ = (ka1; ka2; ka3)
Các vectơ đặc biệt:
- 0→ = (0; 0; 0)
- i→ = (1; 0; 0)
- j→ = (0; 1; 0)
- k→ = (0; 0; 1)
Điều kiện cùng phương: a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)
Tích vô hướng: a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
Điều kiện vuông góc: a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
Tọa Độ của Điểm trong Oxyz
Tương tự như vectơ, mỗi điểm M trong không gian Oxyz cũng có một bộ ba tọa độ (x; y; z), xác định vị trí của điểm đó so với gốc tọa độ O:
M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→
Trong đó:
- x là hoành độ
- y là tung độ
- z là cao độ
Vị trí đặc biệt của điểm:
- M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0
- M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0
- M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
- M ∈ Ox ⇔ y = z = 0
- M ∈ Oy ⇔ x = z = 0
- M ∈ Oz ⇔ x = y = 0
Công thức quan trọng:
Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB):
-
AB→ = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
-
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: I((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2)
-
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3; (zA + zB + zC)/3)
-
Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: G((xA + xB + xC + xD)/4; (yA + yB + yC + yD)/4; (zA + zB + zC + zD)/4)
Tích Có Hướng của Hai Vectơ trong Oxyz
Tích có hướng của hai vectơ a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3) trong không gian Oxyz, kí hiệu là [a→, b→], là một vectơ được xác định bởi:
[a→, b→] = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1)
Tính chất:
- [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→
- [a→, b→] = -[b→, a→]
- [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→
- |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→)
- a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
Ứng dụng:
- Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0
- Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|
- Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|
- Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’ : VABCD.A’B’C’D’ = |[AB→, AD→].AA’→|
- Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|
Phương Trình Mặt Cầu trong Oxyz
Định nghĩa: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R là tập hợp các điểm M(x; y; z) cách I một khoảng R.
Phương trình:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
hoặc
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (với a2 + b2 + c2 – d > 0)
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Dựa vào khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) so với bán kính R.
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng: Dựa vào khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Δ so với bán kính R.
Đường tròn trong Oxyz: Là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α). Tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến có thể được xác định thông qua hình chiếu của tâm mặt cầu lên mặt phẳng.
Điều kiện tiếp xúc:
- Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R
- Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R
Bài Tập Vận Dụng Tọa Độ Oxyz
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3.
Giải: (S): (x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9
Ví dụ 2: Cho đường thẳng Δ và mặt cầu (S). Tìm số điểm chung của Δ và (S).
Giải: Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến Δ. So sánh khoảng cách này với bán kính R của (S) để xác định số điểm chung.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết tốt các bài toán liên quan đến tọa độ Oxyz.