Tọa Độ Đỉnh Parabol: Công Thức, Ví Dụ và Bài Tập (Chi Tiết)

Parabol là một trong những dạng đồ thị quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Việc nắm vững công thức và cách xác định tọa độ đỉnh parabol là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về tọa độ đỉnh parabol, bao gồm lý thuyết, công thức, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.

I. Lý thuyết tổng quan về Parabol

Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol thường được biểu diễn bởi phương trình bậc hai có dạng:

y = ax² + bx + c (với a ≠ 0)

Trong đó:

• a, b, c là các hệ số thực.
• a quyết định hướng bề lõm của parabol (a > 0: bề lõm hướng lên, a < 0: bề lõm hướng xuống).

II. Công thức tọa độ đỉnh Parabol

Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc điểm cao nhất (nếu a < 0) trên đồ thị. Tọa độ đỉnh parabol I(x_I; y_I) được xác định bởi công thức:

• x_I = -b / 2a
• y_I = -Δ / 4a (trong đó Δ = b² – 4ac là biệt số của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0)

III. Các bước xác định tọa độ đỉnh Parabol

1. Xác định các hệ số a, b, c từ phương trình parabol y = ax² + bx + c.
2. Tính x_I bằng công thức x_I = -b / 2a.
3. Tính Δ bằng công thức Δ = b² – 4ac.
4. Tính y_I bằng công thức y_I = -Δ / 4a.
5. Kết luận tọa độ đỉnh parabol I(x_I; y_I).

IV. Tọa độ giao điểm của Parabol với các trục tọa độ

• Giao điểm với trục tung (Ox): Thay x = 0 vào phương trình parabol, ta được y = c. Vậy giao điểm với trục tung là (0; c).

• Giao điểm với trục hoành (Oy): Tìm nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0.

  • Nếu phương trình vô nghiệm: Parabol không cắt trục hoành.
  • Nếu phương trình có nghiệm kép x = x₁: Parabol tiếp xúc với trục hoành tại (x₁; 0).
  • Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂: Parabol cắt trục hoành tại hai điểm (x₁; 0) và (x₂; 0).

V. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định tọa độ đỉnh parabol của hàm số y = x² – 4x + 3.

• Giải:
  • a = 1, b = -4, c = 3
  • x_I = -(-4) / (2 * 1) = 2
  • Δ = (-4)² – 4 1 3 = 4
  • y_I = -4 / (4 * 1) = -1
  • Vậy tọa độ đỉnh parabol là I(2; -1).

Ví dụ 2: Cho parabol y = -2x² + 8x – 6. Tìm tọa độ đỉnh parabol và giao điểm với trục tung.

• Giải:
  • a = -2, b = 8, c = -6
  • x_I = -8 / (2 * -2) = 2
  • Δ = 8² – 4 (-2) (-6) = 16
  • y_I = -16 / (4 * -2) = 2
  • Tọa độ đỉnh parabol là I(2; 2).
  • Giao điểm với trục tung: (0; -6).

Ví dụ 3: Tìm giao điểm của parabol y = x² – 3x + 2 với trục hoành.

• Giải:
  • Giải phương trình x² – 3x + 2 = 0
  • Δ = (-3)² – 4 1 2 = 1
  • x₁ = (3 + √1) / 2 = 2
  • x₂ = (3 – √1) / 2 = 1
  • Vậy parabol cắt trục hoành tại hai điểm (1; 0) và (2; 0).

VI. Bài tập tự luyện

1. Tìm tọa độ đỉnh parabol của các hàm số sau:
   • y = 2x² + 4x – 1
   • y = -x² + 6x – 5
   • y = 3x² – 2x + 1
2. Tìm tọa độ đỉnh parabol và giao điểm với trục tung, trục hoành của hàm số y = x² – 5x + 4.
3. Cho parabol y = -x² + 2x + 3. Xác định tọa độ đỉnh parabol và vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải bài tập tự luyện (Gợi ý):

Bài tập 1:

• y = 2x² + 4x – 1: I(-1; -3)
• y = -x² + 6x – 5: I(3; 4)
• y = 3x² – 2x + 1: I(1/3; 2/3)

Bài tập 2:

• I(5/2; -9/4)
• Giao điểm với trục tung: (0; 4)
• Giao điểm với trục hoành: (1; 0) và (4; 0)

Bài tập 3:

• I(1; 4)
• Vẽ đồ thị (bạn đọc tự vẽ dựa trên các thông tin trên)

VII. Ứng dụng của tọa độ đỉnh Parabol

Việc xác định tọa độ đỉnh parabol có nhiều ứng dụng thực tế, ví dụ như:

• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số bậc hai.
• Giải các bài toán liên quan đến quỹ đạo của vật ném xiên (trong Vật lý).
• Ứng dụng trong kỹ thuật xây dựng (thiết kế cầu, mái vòm…).

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về tọa độ đỉnh parabol và giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Chúc các bạn học tốt!