Tọa Độ Đỉnh Parabol: Công Thức, Ví Dụ và Bài Tập

Parabol là một trong những hình học quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Việc nắm vững công thức và cách xác định Tọa độ đỉnh Của Parabol là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về tọa độ đỉnh parabol, bao gồm lý thuyết, công thức, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.

I. Lý Thuyết Tổng Quan Về Parabol

Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Phương trình tổng quát của parabol có dạng:

y = ax² + bx + c

Trong đó:

a, b, và c là các hệ số, với a ≠ 0.
Đồ thị của phương trình này là một đường cong hình chữ U gọi là parabol.

Alt: Đồ thị minh họa hình dạng parabol với các hệ số a, b, c và trục đối xứng.

II. Công Thức Tọa Độ Đỉnh Parabol

Tọa độ đỉnh I của Parabol (P): y = ax² + bx + c được xác định bởi công thức:

I(xᵢ; yᵢ) = (-b/2a; -Δ/4a)

Trong đó:

xᵢ = -b/2a là hoành độ đỉnh.
yᵢ = -Δ/4a là tung độ đỉnh.
Δ = b² - 4ac là biệt thức.

Alt: Biểu thức toán học thể hiện công thức tính hoành độ và tung độ của đỉnh parabol dựa trên các hệ số a, b, c.

III. Tọa Độ Giao Điểm Của Parabol Với Các Trục Tọa Độ

1. Giao điểm với trục tung (x = 0)

Để tìm giao điểm của parabol với trục tung, ta thay x = 0 vào phương trình parabol:

y = a(0)² + b(0) + c = c

Vậy, tọa độ giao điểm với trục tung là A(0; c).

2. Giao điểm với trục hoành (y = 0)

Để tìm giao điểm của parabol với trục hoành, ta giải phương trình bậc hai:

ax² + bx + c = 0

Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm, parabol không cắt trục hoành.
Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x = -b/2a, parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(-b/2a; 0).

Alt: Hình ảnh minh họa parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất, tương ứng với nghiệm kép của phương trình bậc hai.
Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂, parabol cắt trục hoành tại hai điểm B₁(x₁; 0) và B₂(x₂; 0).

Alt: Hình ảnh minh họa parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, biểu thị hai nghiệm thực khác nhau của phương trình bậc hai.

IV. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Xác định tọa độ đỉnh của parabol y = x² - 4x + 3.

Giải:

Ta có: a = 1, b = -4, c = 3

Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 4

Tọa độ đỉnh I là:

xᵢ = -b/2a = -(-4) / (2 * 1) = 2

yᵢ = -Δ/4a = -4 / (4 * 1) = -1

Vậy tọa độ đỉnh của parabol là I(2; -1).

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = -x² + 2x + 3 với trục tung và trục hoành.

Giải:

Giao điểm với trục tung: Thay x = 0 vào phương trình, ta được y = 3. Vậy giao điểm với trục tung là (0; 3).
Giao điểm với trục hoành: Giải phương trình -x² + 2x + 3 = 0. Ta có Δ = 2² - 4 * (-1) * 3 = 16.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = (-2 + √16) / (-2) = -1

x₂ = (-2 - √16) / (-2) = 3

Vậy giao điểm với trục hoành là (-1; 0) và (3; 0).

V. Bài Tập Tự Luyện

Tìm tọa độ đỉnh của các parabol sau:
- y = 2x² + 8x - 1
- y = -3x² + 6x + 5
Tìm tọa độ giao điểm của các parabol sau với trục tung và trục hoành:
- y = x² - 5x + 6
- y = -2x² + 4x - 2

Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ đỉnh của parabol và các bài toán liên quan khác. Chúc các bạn học tốt!