Tọa Độ Đỉnh Parabol: Công Thức, Ví Dụ và Bài Tập (Toán 10)

Hiểu rõ về tọa độ đỉnh của parabol là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ và chi tiết về công thức tính tọa độ đỉnh, cách xác định giao điểm của parabol với các trục tọa độ, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức này.

I. Lý thuyết tổng hợp về Parabol

Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Phương trình tổng quát của parabol có dạng:

y = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, và c là các hệ số, với a ≠ 0.
• Đồ thị của phương trình này là một đường cong hình chữ U, hướng lên trên nếu a > 0 và hướng xuống dưới nếu a < 0.

II. Công thức tọa độ đỉnh Parabol

Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc cao nhất (nếu a < 0) trên đồ thị. Tọa độ đỉnh I của parabol y = ax² + bx + c được tính bằng công thức:

I (x_I; y_I) = (-b/2a; -Δ/4a)

Trong đó:

• x_I = -b/2a là hoành độ của đỉnh.
• y_I = -Δ/4a là tung độ của đỉnh.
• Δ = b² - 4ac là biệt thức của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0.

Ảnh: Công thức tọa độ đỉnh của parabol.

III. Tọa độ giao điểm của Parabol với các trục tọa độ

1. Giao điểm với trục tung (Ox):

   Trục tung có phương trình x = 0. Để tìm giao điểm của parabol y = ax² + bx + c với trục tung, ta thay x = 0 vào phương trình parabol:

   y = a(0)² + b(0) + c = c

   Vậy, tọa độ giao điểm A của parabol với trục tung là A(0; c).

2. Giao điểm với trục hoành (Oy):

   Trục hoành có phương trình y = 0. Để tìm giao điểm của parabol y = ax² + bx + c với trục hoành, ta giải phương trình bậc hai:

   ax² + bx + c = 0

   • Nếu phương trình vô nghiệm (Δ < 0): Parabol không cắt trục hoành.
   • Nếu phương trình có nghiệm kép (Δ = 0): Parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm. Tọa độ tiếp điểm là B(-b/2a; 0).
   • Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0): Parabol cắt trục hoành tại hai điểm. Gọi x_1 và x_2 là hai nghiệm của phương trình, tọa độ giao điểm là B(x_1; 0) và C(x_2; 0).

Ảnh: Các trường hợp giao điểm của parabol với trục Ox.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho parabol y = x² - 4x + 3. Tìm tọa độ đỉnh và giao điểm của parabol với các trục tọa độ.

Lời giải:

• Tọa độ đỉnh:

  • a = 1, b = -4, c = 3
  • x_I = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2
  • Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*3 = 4
  • y_I = -Δ/4a = -4/(4*1) = -1

  Vậy, tọa độ đỉnh của parabol là I(2; -1).

• Giao điểm với trục tung:

  • Thay x = 0 vào phương trình parabol, ta được y = 3.

  Vậy, tọa độ giao điểm với trục tung là A(0; 3).

• Giao điểm với trục hoành:

  • Giải phương trình x² - 4x + 3 = 0, ta được hai nghiệm x_1 = 1 và x_2 = 3.

  Vậy, tọa độ giao điểm với trục hoành là B(1; 0) và C(3; 0).

Ví dụ 2: Xác định tọa độ đỉnh của parabol có phương trình y = -2x² + 8x - 5.

Lời giải:

• a = -2, b = 8, c = -5
• x_I = -b/2a = -8/(2*(-2)) = 2
• Δ = b² - 4ac = 8² - 4*(-2)*(-5) = 24
• y_I = -Δ/4a = -24/(4*(-2)) = 3

Vậy, tọa độ đỉnh của parabol là I(2; 3).

Ảnh: Ví dụ minh họa tính tọa độ đỉnh parabol.

V. Bài tập tự luyện

1. Cho parabol y = 3x² + 6x - 1. Tìm tọa độ đỉnh của parabol.
2. Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = -x² + 2x + 3 với trục tung và trục hoành.
3. Xác định tọa độ đỉnh của parabol y = 2x² - 8x + 8. Parabol này có cắt trục hoành không?
4. Tìm tọa độ đỉnh và các giao điểm (nếu có) với các trục tọa độ của parabol y = -x² + 4x - 5.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững công thức tính tọa độ đỉnh và các yếu tố liên quan đến parabol. Chúc bạn học tốt!