Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học và đại số tuyến tính. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về định nghĩa, công thức tính tích vô hướng, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả.
A. Định Nghĩa và Công Thức Tính Tích Vô Hướng
Trong không gian, cho hai vectơ u và v khác vectơ 0. Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số thực, ký hiệu là u.v, được xác định bởi công thức:
u.v = |u| . |v| . cos(θ)
Trong đó:
- |u| và |v| là độ dài (hay môđun) của vectơ u và v tương ứng.
- θ là góc giữa hai vectơ u và v (0° ≤ θ ≤ 180°).
Trong trường hợp một trong hai vectơ là vectơ 0, ta quy ước tích vô hướng của chúng bằng 0: u.v = 0 nếu u = 0 hoặc v = 0.
Công thức tính tích vô hướng trong hệ tọa độ:
Nếu vectơ u = (x₁, y₁) và vectơ v = (x₂, y₂) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, thì:
u.v = x₁x₂ + y₁y₂
Nếu vectơ u = (x₁, y₁, z₁) và vectơ v = (x₂, y₂, z₂) trong không gian tọa độ Oxyz, thì:
u.v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
B. Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM.
Hướng dẫn giải
Giả sử cạnh của tứ diện là a. Khi đó, tam giác BCD đều suy ra DM = (a√3)/2. Tam giác ABC đều suy ra AM = (a√3)/2.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°. Xác định góc giữa cặp vectơ AB và CD.
A. 60° B. 45° C. 120° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và SA² = SB² = SC² < AB² + BC² + CA². Xác định góc giữa cặp vectơ SC và AB?
A. 120° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Xét:
Vậy SC và AB vuông góc với nhau.
Chọn D
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = (3/2)AD, ∠CAB = ∠DAB = 60°, CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?
A. cosα = (3/4) B. α = 60° C. α = 30° D. cosα = 1/4
Lời giải:
Chọn D
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ?
A. 120° B. 90° C. 60° D. 45°
Lời giải:
Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD ⇒ IJ = (1/2)(IC + ID)
Tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ CI ⊥ AB (1)
Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Chọn B
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN ; SC) bằng:
A. 45° B. 30° C. 90° D. 60°
Lời giải:
Do ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a√2
Ta có : AC² = 2a²= SA² + SC²
⇒ tam giác SAC vuông tại S.
Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA ⇒ MN = (1/2).SA
Khi đó:
Chọn C
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB.EG.
Lời giải:
Ta có: EGCA là hình bình hành nên EG = AC ⇒ AB.EG = AB.AC
Mặt khác AC = AB + AD ( quy tắc hình hộp).
Suy ra:
Chọn B
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a có đường cao AM. Tính các tích vô hướng AB.AC, AM.BC.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ u = (0; -5), v = (3; 1). Tính tích vô hướng giữa hai vectơ trên.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng sau: AB.AC, AB.BD.
Bài 4. Cho 2 vectơ a, b thỏa mãn |a| = 1, |b| = 2, |a – 2b| = √15. Tính a.b.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, M tùy ý. Chứng minh rằng:
a) MA² + MC² = MB² + MD²;
b) MA.MC = MB.MD.
