Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều: Công Thức, Tính Chất và Bài Tập Áp Dụng

Khối chóp tứ giác đều là một hình học không gian quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài toán hình học. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ về khối chóp tứ giác đều, từ định nghĩa, tính chất, công thức tính thể tích và diện tích, đến các bài tập ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

1. Định Nghĩa Khối Chóp Tứ Giác Đều

Khối chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và chân đường cao của chóp trùng với tâm của đáy (giao điểm của hai đường chéo hình vuông).

2. Tính Chất Của Khối Chóp Tứ Giác Đều

Khối chóp tứ giác đều sở hữu những tính chất đặc trưng sau:

• Đáy là hình vuông: Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và các góc đều là góc vuông.
• Các cạnh bên bằng nhau: Khoảng cách từ đỉnh chóp đến mỗi đỉnh của hình vuông đáy là như nhau.
• Chân đường cao trùng với tâm đáy: Đường thẳng nối đỉnh chóp và tâm đáy vuông góc với mặt đáy.
• Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau: Mỗi mặt bên là một tam giác cân có cạnh đáy là cạnh của hình vuông và hai cạnh bên là các cạnh bên của hình chóp.
• Các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
• Các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.

Ví dụ, xét hình chóp tứ giác đều SABCD:

• ABCD là hình vuông tâm O.
• SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
• SA = SB = SC = SD.
• (SA; (ABCD)) = (SB; (ABCD)) = (SC; (ABCD)) = (SD; (ABCD)).

3. Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều

Thể tích (V) của khối chóp tứ giác đều được tính theo công thức:

V = (1/3) Sđáy h

Trong đó:

• V: Thể tích khối chóp tứ giác đều.
• Sđáy: Diện tích đáy của khối chóp tứ giác đều (diện tích hình vuông).
• h: Chiều cao của khối chóp tứ giác đều (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).

4. Công Thức Tính Diện Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều

4.1. Diện Tích Xung Quanh

Diện tích xung quanh (Sxq) của khối chóp tứ giác đều là tổng diện tích của bốn mặt bên.

*Sxq = 4 S**

Trong đó:

• Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.
• S: Diện tích của một mặt bên (diện tích tam giác cân).

4.2. Diện Tích Toàn Phần

Diện tích toàn phần (Stp) của khối chóp tứ giác đều là tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy.

Stp = Sxq + Sđáy

Trong đó:

• Stp: Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều.
• Sxq: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.
• Sđáy: Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều.

5. Bài Tập Ví Dụ Về Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác Đều

Dưới đây là một số bài tập ví dụ minh họa cách áp dụng công thức Tính Thể Tích Khối Chóp Tứ Giác đều, kèm theo lời giải chi tiết:

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải:

• Diện tích đáy ABCD: S_ABCD = a²
• Chiều cao SH: SH = √(SA² – AH²) = (a√2)/2
• Thể tích khối chóp S.ABCD: V_S.ABCD = (1/3) S_ABCD SH = (a³√2)/6

Câu 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

Giải:

• Diện tích đáy ABCD: S_ABCD = a²
• Chiều cao SO: SO = √(SB² – OB²) = (a√2)/2
• Thể tích khối chóp S.ABCD: V_S.ABCD = (1/3) SO S_ABCD = (a³√2)/6

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích khối chóp.

Giải:

• Diện tích đáy: B = x²
• Chiều cao SI (I là trung điểm CD): SI = √(h² + (x²/4))
• Từ Sxq = 2B, ta có: 2x√(h² + (x²/4)) = 2x² => h = (x√3)/2
• Thể tích khối chóp: V = (1/3) B h = (x³√3)/6

Câu 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ. Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD.

Giải:

• SO vuông góc (ABCD) => Góc SCO = 60 độ
• SO = OC tan60 = (a/√2) √3
• V = (1/3) a√(3/2) a² = (a³√6)/6

Câu 5: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp tứ giác đã cho.

Giải:

• AC = a√2 => AO = (a√2)/2 => SO = √(SA² – OA²) = (a√14)/2
• V_S.ABCD = (1/3) SO S_ABCD = (1/3) (√14)/2 a³ = (√14)/6 * a³

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a√3. Tính thể tích của hình chóp đó theo a.

Giải:

• h = √(3a² – a²/2) = (a√10)/2
• V = (1/3) S_ABCD h = (1/3) a² (a√10)/2 = (a³√10)/6

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a. Tính thể tích khối chóp đó.

Giải:

• OD = (a√2)/2, SO = √(SD² – OD²) = √(2a² – a²/2) = (a√6)/2
• V_S.ABCD = (1/3) SO S_ABCD = (1/3) (a√6)/2 a² = (a³√6)/6

Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách tính thể tích khối chóp tứ giác đều và áp dụng thành công vào giải các bài toán liên quan.