Tính Thể Tích Khối Chóp: Công Thức, Dạng Toán & Bài Tập Chi Tiết

Thể tích khối chóp là một phần quan trọng trong chương trình hình học lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc Gia. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức toàn diện về khối chóp, các công thức tính thể tích, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục các bài toán liên quan.

Khái Niệm Về Hình Chóp

Hình chóp là một hình đa diện có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh, gọi là đỉnh của hình chóp. Đường cao của hình chóp là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh xuống mặt đáy và vuông góc với mặt đáy.

Alt: Hình ảnh minh họa khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác, thể hiện rõ mặt đáy, mặt bên và đường cao.

Có nhiều loại hình chóp khác nhau, tùy thuộc vào hình dạng của đa giác đáy: hình chóp tam giác (đáy là tam giác), hình chóp tứ giác (đáy là tứ giác), hình chóp ngũ giác, hình chóp lục giác, v.v.

Một số tính chất quan trọng của hình chóp:

• Nếu các cạnh bên của hình chóp có độ dài bằng nhau, thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Nếu các mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy các góc bằng nhau, thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
• Nếu một mặt bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy, thì chân đường cao của hình chóp trùng với chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh hình chóp xuống cạnh đáy của mặt bên đó.
• Nếu hai mặt bên của hình chóp cùng vuông góc với mặt đáy, thì giao tuyến của hai mặt bên đó cũng vuông góc với mặt đáy.

Công Thức Tính Thể Tích Khối Chóp

Công thức tổng quát để tính thể tích của một khối chóp là:

V = (1/3) S h

Trong đó:

• V là thể tích của khối chóp
• S là diện tích của mặt đáy
• h là chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy)

Alt: Sơ đồ minh họa công thức tính thể tích khối chóp, chỉ rõ diện tích đáy (S) và chiều cao (h).

Các Dạng Toán Thường Gặp và Ví Dụ Minh Họa

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp về tính thể tích khối chóp, kèm theo ví dụ minh họa và hướng dẫn giải chi tiết:

1. Khối Chóp Có Mặt Bên Vuông Góc Với Đáy

Nhận biết: Bài toán cho khối chóp có một hoặc hai mặt bên vuông góc với mặt đáy. Đường cao của hình chóp thường là giao tuyến của các mặt bên vuông góc với đáy.

Phương pháp:

1. Xác định mặt bên vuông góc với đáy và tìm đường cao của hình chóp.
2. Tính diện tích mặt đáy.
3. Áp dụng công thức V = (1/3) S h.

Ví dụ: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), BC = 4a, BA = 3a. Góc SBC bằng 30 độ và SB = 2a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Alt: Hình vẽ khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông, mặt bên SBC vuông góc với đáy, các kích thước cạnh và góc được chú thích rõ ràng.

Giải:

1. Kẻ SH vuông góc với BC (H thuộc BC). Vì (SBC) ⊥ (ABC) và BC là giao tuyến nên SH ⊥ (ABC). Vậy SH là đường cao của hình chóp.
2. Xét tam giác SHB vuông tại H: SH = SB sin(SBC) = 2a√3 sin(30°) = a√3.
3. Diện tích tam giác ABC: S_ABC = (1/2) BA BC = (1/2) 3a 4a = 6a².
4. Thể tích khối chóp S.ABC: V = (1/3) SH S_ABC = (1/3) a√3 6a² = 2a³√3.

2. Khối Chóp Có Cạnh Bên Vuông Góc Với Đáy

Nhận biết: Bài toán cho khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Cạnh bên này chính là đường cao của hình chóp.

Phương pháp:

1. Xác định cạnh bên vuông góc với đáy, đây là chiều cao h của hình chóp.
2. Tính diện tích mặt đáy.
3. Áp dụng công thức V = (1/3) S h.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10, CA = 8. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Alt: Hình vẽ khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, các kích thước cạnh đáy và chiều cao được thể hiện rõ ràng.

Giải:

1. Ta có AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = BC². Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
2. Diện tích tam giác ABC: S_ABC = (1/2) AB AC = (1/2) 6 8 = 24.
3. Thể tích khối chóp S.ABC: V = (1/3) SA S_ABC = (1/3) 4 24 = 32.

3. Khối Chóp Có Đáy Là Hình Vuông

Nhận biết: Bài toán cho khối chóp có đáy là hình vuông.

Phương pháp:

1. Tính diện tích hình vuông đáy: S = a² (với a là độ dài cạnh hình vuông).
2. Tìm chiều cao của hình chóp (thường thông qua các yếu tố vuông góc hoặc góc cho trước).
3. Áp dụng công thức V = (1/3) S h.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 độ, SA vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp.

Alt: Hình vẽ khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, thể hiện góc giữa SC và mặt phẳng (SAB), cũng như cạnh SA vuông góc với đáy.

Giải:

1. Vì ABCD là hình vuông nên BC ⊥ AB.
2. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC.
3. Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ (SAB).
4. Góc giữa SC và (SAB) là góc CSB = 30 độ.
5. BC/SB = tan(30°) = √3/3 => SB = √3a.
6. SA = √(SB² – AB²) = √(3a² – a²) = a√2.
7. Diện tích hình vuông ABCD: S_ABCD = a².
8. Thể tích khối chóp: V = (1/3) SA S_ABCD = (1/3) a√2 a² = (a³√2)/3.

4. Khối Chóp Lập Phương

Nhận biết: Khối chóp có tất cả các mặt là hình vuông bằng nhau.

Phương pháp:

Thể tích khối lập phương: V = a³, với a là độ dài cạnh của hình lập phương.

Ví dụ: Cho một hình chóp lập phương có đường chéo dài 27cm. Tính thể tích của hình chóp.

Alt: Hình vẽ khối lập phương với đường chéo được thể hiện, giúp hình dung quan hệ giữa đường chéo và cạnh.

Giải:

1. Độ dài cạnh của hình lập phương: a = 27/√3 (cm).
2. Thể tích hình lập phương: V = (27/√3)³ = 6561/√3 (cm³).

5. Khối Chóp Lăng Trụ Tam Giác Đều

Nhận biết: Hình chóp lăng trụ có hai mặt đáy song song và là các tam giác đều bằng nhau. Các mặt bên là hình bình hành.

Phương pháp:

1. Tính diện tích tam giác đều đáy: S = (a²√3)/4, với a là độ dài cạnh tam giác.
2. Xác định chiều cao của lăng trụ.
3. Thể tích lăng trụ: V = S * h.

Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều ABC cạnh a = 2cm, chiều cao h = 3cm. Tính thể tích khối lăng trụ.

Alt: Hình vẽ khối lăng trụ tam giác đều, mô tả rõ các cạnh đáy và chiều cao lăng trụ.

Giải:

1. Diện tích tam giác đều ABC: S = (2²√3)/4 = √3 (cm²).
2. Thể tích lăng trụ: V = S h = √3 3 = 3√3 (cm³).

6. Khối Chóp Có Đáy Là Lục Giác Đều

Nhận biết: Đáy của hình chóp là một lục giác đều.

Phương pháp:

1. Tính diện tích lục giác đều: S = (3a²√3)/2, với a là độ dài cạnh lục giác.
2. Tìm chiều cao của hình chóp.
3. Áp dụng công thức V = (1/3) S h.

Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là lục giác đều cạnh a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 30 độ. Tính thể tích hình chóp.

Alt: Hình vẽ khối chóp có đáy là lục giác đều, minh họa góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Giải:

1. Gọi S.ABCDEF là hình chóp, O là tâm lục giác đều.
2. OA = OB = OC = OD = OE = OF = a.
3. Diện tích lục giác đều: S = 6 * S_OAB = (3a²√3)/2.
4. Góc giữa SA và đáy là góc SAO = 30 độ.
5. SO = OA * tan(30°) = (a√3)/3.
6. Thể tích khối chóp: V = (1/3) S SO = (1/3) (3a²√3)/2 (a√3)/3 = a³/2.

7. Khối Tứ Diện Có Các Cạnh Bên Đôi Một Vuông Góc

Nhận biết: Khối tứ diện có ba cạnh bên xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc với nhau.

Phương pháp:

Nếu SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau, thì thể tích khối tứ diện S.ABC là:

V = (1/6) SA SB * SC

Ví dụ: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = 3a, SB = 4a, SC = 5a. Tính thể tích khối tứ diện.

Alt: Hình vẽ khối tứ diện S.ABC, thể hiện các cạnh SA, SB, SC vuông góc đôi một.

Giải:

Thể tích khối tứ diện: V = (1/6) SA SB SC = (1/6) 3a 4a 5a = 10a³.

8. Khối Chóp Tròn Xoay (Hình Nón)

Công thức tính thể tích:

V = (1/3) B h = (1/3) π r² * h

Trong đó:

• r là bán kính đáy hình nón
• h là chiều cao hình nón

Alt: Hình ảnh minh họa hình nón với các yếu tố bán kính đáy (r) và chiều cao (h).

Ví dụ: Cho hình nón có chiều cao 2√5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều diện tích 9√3. Tính thể tích khối nón.

Giải:

1. Gọi ABC là tam giác đều thiết diện, I là trung điểm BC. AI = a√3/2, với a là cạnh tam giác.
2. (a²√3)/4 = 9√3 => a = 6 => AI = 3√3.
3. OI = √(AI² – AO²) = √(27 – 20) = √7.
4. Bán kính đáy R = OC = √(OI² + IC²) = √(7 + 9) = 4.
5. Thể tích hình nón: V = (1/3) π 4² * 2√5 = (32√5π)/3.

Bài viết này đã cung cấp một cái nhìn tổng quan về Tính Thể Tích Của Khối Chóp, bao gồm các công thức, dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa chi tiết. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến thể tích khối chóp trong chương trình học và các kỳ thi quan trọng. Chúc bạn thành công!