1. Định Nghĩa Mặt Phẳng Trung Trực
Trong hình học không gian, cho một đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu nó đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng AB. Mặt phẳng trung trực đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến quỹ tích và tính đối xứng.
Hình ảnh minh họa mặt phẳng trung trực (P) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB, thể hiện rõ tính chất cơ bản của tính mặt phẳng trung trực.
2. Tính Chất Quan Trọng của Mặt Phẳng Trung Trực
Một tính chất then chốt của mặt phẳng trung trực là mọi điểm nằm trên mặt phẳng này đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Điều này có nghĩa là nếu M là một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, thì MA = MB. Tính chất này là cơ sở để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tìm điểm cách đều hai điểm cho trước trong không gian.
Ảnh minh họa điểm M nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, chứng tỏ rằng khoảng cách từ M đến A bằng khoảng cách từ M đến B (MA=MB), thể hiện tính chất khoảng cách của tính mặt phẳng trung trực.
3. Phương Pháp Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực
Để viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, ta thực hiện theo các bước sau:
-
Bước 1: Xác định tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. Tọa độ của I được tính bằng công thức: $I(frac{x_A + x_B}{2}, frac{y_A + y_B}{2}, frac{z_A + z_B}{2})$.
-
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, chính là vectơ $overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)$. Vectơ này đóng vai trò là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực (P).
-
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I và có vectơ pháp tuyến là $overrightarrow{AB}$. Phương trình có dạng: $A(x – x_I) + B(y – y_I) + C(z – z_I) = 0$, trong đó (A, B, C) là tọa độ của vectơ $overrightarrow{AB}$.
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 1). Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
- Trung điểm I của AB có tọa độ: $I(frac{1+3}{2}; frac{2+4}{2}; frac{3+1}{2}) = I(2; 3; 2)$.
- Vectơ $overrightarrow{AB} = (3-1; 4-2; 1-3) = (2; 2; -2)$.
- Phương trình mặt phẳng trung trực (P) là: $2(x – 2) + 2(y – 3) – 2(z – 2) = 0 Leftrightarrow x + y – z – 3 = 0$.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (0;2;-5) và B (2;-4;7). Tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là (1;-1;1)
Véc-tơ AB có tọa độ là (2;-6;12) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Mặt phẳng có phương trình:
$2(x-1) – 6(y+1) +12(z-1) = 0$
$Leftrightarrow 2x – 6y + 12z -20 = 0$
$Leftrightarrow x – 3y + 6z -10 =0$
Chọn đáp án C
4. Bài Tập Vận Dụng về Tính Mặt Phẳng Trung Trực
Bài 1: Cho A(1; 0; -1) và B(3; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Bài 2: Tìm tập hợp các điểm M cách đều hai điểm C(2; -1; 0) và D(0; 1; 2).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có S(1; 2; 1), A(2; -1; 0), B(0; 1; 1), C(1; 0; 2). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn SA.
Bài 4: Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(2;3;7), B(4;1;3). Tìm VTPT của (P)?
Giải:
Gọi trung điểm đoạn thẳng AB là điểm M.
Vậy ta có tọa độ của M là:
Đoạn thẳng AB có (P) là mặt phẳng trung trực nên mặt phẳng (P) đi qua M và nhận vecto $bar{AB}$ là vecto pháp tuyến. Vậy phương trình của mặt phẳng (P):
Bài 5: Cho M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1). Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP)?
Giải:
⇒ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là $bar{n} (1;-4;5)$
Mặt phẳng (MNP) với M(1;1;1), N(4;3;2), P(5;2;1) có phương trình tổng quát là :
$(x-1) – 4(y-1) + 5(z-1) = 0$
Hoặc $x – 4y + 5z – 2 = 0$
5. Ứng Dụng của Mặt Phẳng Trung Trực
Mặt phẳng trung trực có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học không gian, đặc biệt trong các bài toán:
- Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai điểm cho trước.
- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Chứng minh các tính chất hình học liên quan đến tính đối xứng.
Nắm vững định nghĩa, tính chất và phương pháp xác định mặt phẳng trung trực sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả nhiều bài toán hình học không gian trong chương trình THPT và các kỳ thi quan trọng.
