Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là trong phần hình học không gian. Nắm vững công thức và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán và đạt điểm cao trong các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn hiểu rõ và áp dụng thành thạo công thức này.
1. Công Thức Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Mặt Phẳng
Cho điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $A^2 + B^2 + C^2 > 0$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(P)$, ký hiệu là $d(M_0, (P))$, được tính theo công thức:
$d(M_0, (P)) = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Công thức này cho phép tính khoảng cách một cách nhanh chóng và chính xác khi biết tọa độ điểm và phương trình mặt phẳng.
2. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức, chúng ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm $A(1; 2; -1)$ đến mặt phẳng $(P): 2x – y + 2z + 3 = 0$.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
$d(A, (P)) = frac{|2(1) – (2) + 2(-1) + 3|}{sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = frac{|2 – 2 – 2 + 3|}{sqrt{4 + 1 + 4}} = frac{1}{sqrt{9}} = frac{1}{3}$
Vậy, khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ là $frac{1}{3}$.
Ví dụ 2: Cho điểm $B(0; -1; 3)$ và mặt phẳng $(Q): x + 2y – z + 5 = 0$. Tính khoảng cách từ $B$ đến $(Q)$.
Giải:
Tương tự, ta có:
$d(B, (Q)) = frac{|(0) + 2(-1) – (3) + 5|}{sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = frac{|0 – 2 – 3 + 5|}{sqrt{1 + 4 + 1}} = frac{0}{sqrt{6}} = 0$
Điều này có nghĩa là điểm $B$ nằm trên mặt phẳng $(Q)$.
Ví dụ 3: Tìm $m$ để khoảng cách từ điểm $I(2; -1; 1)$ đến mặt phẳng $(R): x – 2y + 2z + m = 0$ bằng 2.
Giải:
Ta có:
$d(I, (R)) = frac{|(2) – 2(-1) + 2(1) + m|}{sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = frac{|2 + 2 + 2 + m|}{sqrt{1 + 4 + 4}} = frac{|6 + m|}{3}$
Theo đề bài, $d(I, (R)) = 2$, suy ra:
$frac{|6 + m|}{3} = 2 Leftrightarrow |6 + m| = 6$
Xét hai trường hợp:
- $6 + m = 6 Rightarrow m = 0$
- $6 + m = -6 Rightarrow m = -12$
Vậy, $m in {0; -12}$.
3. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, các bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm $M(-2; 1; 0)$ đến mặt phẳng $(P): 3x + 4y – 12z – 13 = 0$.
Bài 2: Cho điểm $N(3; -2; 5)$ và mặt phẳng $(Q): 2x – 3y + 6z + 10 = 0$. Tính khoảng cách từ $N$ đến $(Q)$.
Bài 3: Tìm $n$ để khoảng cách từ điểm $K(1; 0; -1)$ đến mặt phẳng $(S): x + ny – z + 4 = 0$ bằng 1.
Bài 4: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P): x + 2y – 2z + 1 = 0$ và $(Q): x + 2y – 2z + 7 = 0$.
Bài 5: Cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)$ và $D(1; 1; 1)$. Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(ABC)$.
4. Ứng Dụng Thực Tế
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không chỉ là một phần kiến thức trong sách giáo khoa, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực như:
- Xây dựng: Tính toán khoảng cách an toàn giữa các công trình, đảm bảo không gian và khoảng cách cần thiết.
- Thiết kế đồ họa: Xác định vị trí và khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian 3D, tạo ra những hình ảnh chân thực và sống động.
- Robot học: Lập trình cho robot di chuyển và tránh chướng ngại vật, đảm bảo an toàn và hiệu quả trong quá trình làm việc.
- Trắc địa: Xác định vị trí và khoảng cách giữa các điểm trên bề mặt trái đất, phục vụ cho công tác đo đạc và bản đồ.
5. Kết Luận
Hiểu và vận dụng thành thạo công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng đối với học sinh lớp 12. Hy vọng rằng, thông qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức và có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!
