Trong chương trình Toán lớp 12, việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
A. Phương Pháp Giải Bài Toán Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Đường Thẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d, chúng ta có hai phương pháp chính:
1. Phương pháp hình chiếu:
- Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d.
- Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng MH. Độ dài này chính là khoảng cách từ M đến d.
2. Phương pháp sử dụng công thức:
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→ và đi qua điểm M₀, và điểm M bất kỳ. Khoảng cách từ M đến d được tính theo công thức:
d(M, d) = |[u→, M₀M→]| / |u→|Trong đó:
[u→, M₀M→]là tích có hướng của hai vectơ u→ và M₀M→.|[u→, M₀M→]|là độ dài của vectơ tích có hướng.|u→|là độ dài của vectơ chỉ phương u→.
Alt: Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng tích có hướng trong không gian Oxyz, Toán 12.
Ngoài ra, ta cũng xét đến bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau d (vectơ chỉ phương u→, đi qua M₀) và d’ (vectơ chỉ phương u’→, đi qua M₀’).
- Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’.
- Bước 2: Khoảng cách giữa d và d’ chính là khoảng cách từ điểm M₀’ đến mặt phẳng (P):
d(d, d') = d(M₀', (P)).
Hoặc sử dụng công thức sau:
d(d, d') = |[u→, u'→].M₀M₀'→| / |[u→, u'→]|Trong đó:
[u→, u'→]là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương.|[u→, u'→].M₀M₀'→|là giá trị tuyệt đối của tích hỗn tạp của ba vectơ.|[u→, u'→]|là độ dài của vectơ tích có hướng.
Alt: Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng tích hỗn tạp, kiến thức hình học không gian lớp 12.
B. Ví Dụ Minh Họa Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Đường Thẳng
Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm A(-2; 1; 3) đến đường thẳng d: (x/1) = ((y-1)/-2) = ((z+1)/2).
Đường thẳng d đi qua điểm B(0; 1; -1) và có vectơ chỉ phương u→ = (1; -2; 2).
Ta có: BA→ = (-2; 0; 4)
Tính tích có hướng: [u→, BA→] = (8; -12; -2)
Độ dài tích có hướng: |[u→, BA→]| = √(8² + (-12)² + (-2)²) = √212 = 2√53
Độ dài vectơ chỉ phương: |u→| = √(1² + (-2)² + 2²) = √9 = 3
Vậy, khoảng cách từ A đến d là: d(A, d) = |[u→, BA→]| / |u→| = (2√53) / 3
Vậy đáp án đúng là B. (2√53) / 3
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d: (x-1)/2 = (y-7)/1 = (z-3)/0. Tính khoảng cách giữa d và (P).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n→ = (3; -2; -1).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u→ = (2; 1; 0) và đi qua điểm M₀(1; 7; 3).
Ta có: n→.u→ = 32 + (-2)1 + (-1)*0 = 6 – 2 = 4 ≠ 0. Vậy, d không song song với (P).
Để kiểm tra xem d có cắt (P) hay không, ta thay phương trình tham số của d vào phương trình (P):
d: x = 1 + 2t, y = 7 + t, z = 3
3(1 + 2t) – 2(7 + t) – 3 + 5 = 0
3 + 6t – 14 – 2t – 3 + 5 = 0
4t – 9 = 0
t = 9/4
Vì có nghiệm t, nên d cắt (P). Vậy khoảng cách giữa d và (P) bằng 0.
Vậy đáp án đúng là D. 0
Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: (x-1)/(-1) = (y+1)/2 = (z-1)/(-1) và d’: (x-2)/1 = (y+2)/(-1) = (z-3)/2.
Cách 1:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→ = (-1; 2; -1).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là u’→ = (1; -1; 2).
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. (P) nhận vectơ pháp tuyến là:
n→ = [u→, u'→] = (3; 1; -1)
M₀(1; -1; 1) thuộc d cũng thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:
3(x-1) + 1(y+1) – 1(z-1) = 0 hay 3x + y – z – 1 = 0
d’ đi qua M₀'(2; -2; 3)
Vậy d(d, d’) = d(M₀’, (P)) = |3*2 + (-2) – 3 – 1| / √(3² + 1² + (-1)²) = 0
Cách 2:
Ta có: u→ = (-1; 2; -1); u’→ = (1; -1; 2); M₀(1; -1; 1); M₀'(2; -2; 3)
[u→, u'→] = (3; 1; -1)
M₀M₀’→ = (1; -1; 2)
[u→, u'→].M₀M₀'→ = 31 + 1(-1) + (-1)*2 = 0
Vậy d(d, d’) = |[u→, u'→].M₀M₀'→| / |[u→, u'→]| = 0
Vậy đáp án đúng là hai đường thẳng này cắt nhau.
C. Bài Tập Vận Dụng Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Đường Thẳng
Câu 1: Tìm khoảng cách của A( 1;-2; 1) đến đường thẳng d: (x-2)/-1 = y/2 = (z+1)/2.
Câu 2: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1= 0 và đường thẳng d: (x-1)/2 = y/1 = (z-3)/0. Tính khoảng cách giữa d và (P).
Câu 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: (x-2)/2 = (y+1)/(-1) = (z-1)/1 và d’: x/1 = (y+2)/1 = (z-1)/2.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: (x/2) = (y-1)/(-1) = (z+1)/1 và điểm A( 0;-2; 3). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d: (x-1)/2 = y/(-1) = z/1 và d’: x/(-1) = (y-1)/1 = (z-2)/2. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( 2; -1; -1); B(2; 3; 1). Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB?
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(0; 0; 2); B(1; 2; -1) C( 2; 1; 3) và D( 4; 5; -3). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng.
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng d: (x-1)/2 = (y-2)/m = (z-2)/(-1) . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là √2.
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(m; 0; 2) và đường thẳng d: (x-1)/2 = (y-2)/1 = (z+1)/(-1) . Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là 2.
D. Bài Tập Tự Luyện Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Đường Thẳng
Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm M(4; -3; 2) đến đường thẳng d có phương trình: (x+2)/3=(y+2)/2=(z-1)/1?
Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) M(2; 3; 1); d: (x+2)/1=(y-1)/2=(z+1)/2.
b) M(1; 0; 0); d: (x-3)/1=(y-3)/2=(z-1)/1.
Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): (x-1)/2=(y+1)/1=(z-2)/1 điểm M(−3; 1; 2). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là?
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1; -2; 3) đến đường thẳng Δ: (x-10)/5=(y-2)/1=(z+2)/1.
Bài 5. Tính khoảng cách từ điểm N(2; 3; –1) đến đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(-1/2;0;-3/4) và có vectơ chỉ phương u→=(-4;2;-1).
Hy vọng với bài viết này, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức về “Tính Khoảng Cách Từ điểm đến đường Thẳng Lớp 12” và tự tin giải quyết các bài toán liên quan trong các kỳ thi. Chúc các em học tốt!
