Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một chủ đề quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 11. Bài viết này sẽ cung cấp các phương pháp giải quyết bài toán này một cách chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp học sinh nắm vững kiến thức.
1. Các Phương Pháp Xác Định Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta thường dựng đoạn vuông góc chung. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chính là độ dài đoạn vuông góc chung đó. Dưới đây là các phương pháp thường dùng:
Phương pháp 1: Sử dụng mặt phẳng song song
Chọn một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với đường thẳng ∆’. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ chính là khoảng cách từ đường thẳng ∆’ đến mặt phẳng (α).
Hình ảnh minh họa cách dựng mặt phẳng song song với một đường thẳng và chứa đường thẳng còn lại, giúp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Công thức: d(∆, ∆') = d(∆', (α))
Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song
Dựng hai mặt phẳng song song (α) và (β) sao cho (α) chứa đường thẳng ∆ và (β) chứa đường thẳng ∆’. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Hình ảnh minh họa cách dựng hai mặt phẳng song song, mỗi mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng chéo nhau, giúp đơn giản hóa việc tính khoảng cách.
Công thức: d(∆, ∆') = d((α), (β))
Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung
Đây là phương pháp cơ bản nhất. Ta xét hai trường hợp:
-
Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau.
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I.
- Bước 2: Trong mặt phẳng (α), kẻ IJ vuông góc với ∆’ tại J.
Khi đó, IJ là đoạn vuông góc chung và d(∆, ∆’) = IJ.
Hình ảnh minh họa cách xác định đoạn vuông góc chung khi hai đường thẳng vừa chéo nhau, vừa vuông góc, giúp tính khoảng cách chính xác.
-
Trường hợp 2: ∆ và ∆’ vừa chéo nhau và không vuông góc với nhau.
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆.
- Bước 2: Dựng đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm M∈ ∆ dựng đoạn MN ⊥ (α), lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆.
- Bước 3: Gọi H là giao điểm của d và ∆’, dựng HK // MN.
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d(∆, ∆’) = HK = MN.
Hình ảnh minh họa phương pháp hình chiếu để tìm đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau không vuông góc, giúp học sinh dễ hình dung và áp dụng.
Hoặc:
* **Bước 1:** Chọn mặt phẳng (α) vuông góc với ∆ tại I.
* **Bước 2:** Tìm hình chiếu d của ∆' xuống mặt phẳng (α).
* **Bước 3:** Trong mặt phẳng (α), dựng IJ vuông góc với d, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆' tại H, từ H dựng HM // IJ.
Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(∆, ∆') = HM = IJ.Hình ảnh minh họa phương pháp chiếu một đường thẳng lên mặt phẳng vuông góc với đường thẳng còn lại để tìm đoạn vuông góc chung, một kỹ thuật quan trọng trong giải toán hình học không gian.
2. Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a√2 , cạnh SA=a√2 và vuông góc với mặt đáy.
a) Tính khoảng cách giữa BC và SD.
b) Tính khoảng cách giữa SC và AD.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh minh họa hình chóp với đáy vuông và cạnh bên vuông góc đáy, tạo cơ sở trực quan cho việc giải bài toán khoảng cách.
a) Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD. Do ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD. Ta có CD ⊥ SD tại D, CD ⊥ BC tại C.
⇒ CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.
⇒ d(SD, BC) = CD = 2a.
Hình ảnh minh họa đoạn vuông góc chung giữa SD và BC, giúp trực quan hóa lời giải và dễ hiểu hơn.
b) Vì AD // BC mà BC⊂ (SBC) ⇒ AD // (SBC).
Do đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).
Kẻ AH ⊥ SB tại H.
Có SA⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥BC mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥AH.
Lại có AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC).
Do đó d(A, (SBC)) = AH.
Xét ∆SAB vuông tại A, có 1/AH² = 1/SA² + 1/AB² = 1/(2a²) + 1/(2a²) = 1/a² ⇒ AH = a.
Vậy d(SC, AD) = a.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a, góc DAB = 120°.
a) Tính khoảng cách giữa BD và CC’.
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD’.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh lăng trụ đứng giúp hình dung bài toán và áp dụng các phương pháp tính khoảng cách một cách hiệu quả.
a) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC, BD và AC ⊥ BD.
Xét ∆ABD có BD² = AB² + AD² – 2AB.AD.cos120° = 3a²
⇒ BD=a√3 ⇒ BO=a√3/2
Xét ∆AOB vuông tại O, có AO=√(AB²−BO²) = √(a²−3a²/4) = a/2 ⇒ AC = a.
Vì CC’ ⊥ (ABCD) ⇒ CC’ ⊥ CO mà CO⊥ BD nên CO là đoạn vuông góc chung của BD và CC’.
Do đó d(BD, CC’) = CO = AO = a/2.
b) Trong (BDD’B’) kẻ OE ⊥ BD’ tại E (1).
Vì AC ⊥ BD và AC ⊥ DD’ (DD’ ⊥ (ABCD)) ⇒ AC ⊥ (BDD’B’)⇒ AC ⊥OE (2).
Từ (1) và (2), suy ra OE là đoạn vuông góc chung của AC và BD’.
Do đó d(AC, BD’) = OE.
Mà OE = d(O, BD’) = 1/2 d(D,BD’).
Gọi h là khoảng cách từ D đến BD’.
Xét DD’DB vuông tại D, có 1/h² = 1/DD’² + 1/DB² = 1/a² + 1/(3a²) = 4/(3a²) ⇒ h=a√3/2 .
Vậy d(AC, BD’) = a√3/4 .
3. Bài Tập Tự Luyện
Dưới đây là một số bài tập tự luyện giúp bạn củng cố kiến thức về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy ABCD. Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng:
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK;
B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD;
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH;
D. Các khẳng định trên đều sai.
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
A. a√3/2 ;
B. a√2/3;
C. a√2/2;
D. a√3/3.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC=a√5 và BC=a√2 . Tính khoảng cách giữa SD và BC.
A. 3a/4 ;
B. 2a/3;
C. a√3/2;
D. a√3.
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:
A. a/2 ;
B. a√3;
C. a√2/2;
D. a√3/3.
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa AA’ và BD’ bằng:
A. √3/3 ;
B. √2/2 ;
C. 2√2/5;
D. 3√5/7.
Bài 6. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là:
A. AA’;
B. BD;
C. DA’;
D. DD’.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. a;
B. a/2 ;
C. a/3 ;
D. 2a.
Bài 8. Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?
A. a;
B. a√5 ;
C. a√3/2 ;
D. a/2 .
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD.
A. a√2/4 ;
B. a/2 ;
C. a√3/3 ;
D. a√2/2 .
Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD.
A. ah/√(3a²+h²) ;
B. ah/√(a²+h²) ;
C. ah/√(2a²+h²) ;
D. ah/√(a²+2h²) .
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán về tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong chương trình hình học lớp 11. Chúc bạn học tốt!
