Để học tốt hình học không gian, việc nắm vững cách Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa dễ hiểu và bài tập vận dụng đa dạng, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng.
A. Phương Pháp Giải
Để xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) trong không gian, ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:
Cách 1: Tìm đường vuông góc chung
Tìm hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu
Gọi S là diện tích của hình (H) nằm trong mặt phẳng (α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) lên mặt phẳng (β). Ta có công thức:
S’ = S.cos(φ)
Từ đó suy ra cos(φ) = S’/S, và tính được góc giữa hai mặt phẳng φ.
Cách 3: Phương pháp giao tuyến và mặt phẳng vuông góc
Đây là phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất để xác định góc giữa hai mặt phẳng.
- Bước 1: Xác định giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (α) và (β).
- Bước 2: Chọn một mặt phẳng (γ) vuông góc với giao tuyến Δ.
- Bước 3: Tìm các giao tuyến a và b của (γ) với (α) và (β) tương ứng.
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng ((α), (β)) chính là góc giữa hai đường thẳng (a, b).
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
C. (BCD) ⊥ (AIB)
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Hướng dẫn giải:
- Vì tam giác BCD cân tại B và I là trung điểm của CD, suy ra CD ⊥ BI (1).
- Tương tự, tam giác CAD cân tại A có I là trung điểm của CD, suy ra CD ⊥ AI (2).
Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).
⇒ (BCD) ⊥ (ABI) và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB .
Vậy A là đáp án sai.
Chọn A
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hướng dẫn giải
Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và CI = a√3/2
Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI = a√3/2
Do đó, ((ABC), (ABD)) = (CI, DI) = ∠CID = α
Tam giác CID có
Chọn A
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi H là giao điểm của AC và BD.
- Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)
Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.
- Tam giác SCD cân tại S; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)
SM ⊥ CD và HM ⊥ CD
⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α
Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH (H ∈ BC). Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA ⊥ (ABC)
B. O ∈ SH
C. (SAH) ⊥ (SBC)
D. ((SBC), (ABC)) = ∠SBA
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Góc giữa hai mặt phẳng (SOF) và (SBC) là:
A. 90° B. 60° C. 30° D. 45°
Hướng dẫn giải:
Tam giác BCD có BC = BD và ∠BCD = 60° nên tam giác BCD đều
Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC
Mặt khác, tam giác BDE có OF là đường trung bình
⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF (1).
-
Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO (2).
-
Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SOF) ⇒ (SBC) ⊥ (sOF)
Vậy, góc giữa ( SOF) và( SBC) bằng 90°
Chọn A
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng
A. 30° B. 90° C. 60° D. 45°
Hướng dẫn giải:
Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) (SH ⊥(ABCD))
-
Do SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc H của S lên mp(ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
-
Mà tam giác ABC cân tại B (Vì BA = BC = a) ⇒ tâm H phải nằm trên BD ⇒ SH ⊂ (SBD)
Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
Hướng dẫn giải:
Gọi M’ là trung điểm OC.
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)
⇒ SO ⊥ OC.
Xét tam giác SOC vuông tại O đường trung tuyến OM có: OM = SC/2 = a/2
Chọn đáp án C
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và khoảng cách từ A đến BD bằng 2a/√5. Biết SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. (SAB) ⊥ (SAD)
B. (SAC) ⊥ (ABCD)
C. tanα = √5
D. α = ∠SOA
Hướng dẫn giải:
Gọi AK là khoảng cách từ A đến BD
Khi đó:
C. Bài Tập Vận Dụng
(Các bài tập và lời giải tương tự như trong bài viết gốc, bạn có thể tham khảo để luyện tập thêm)
D. Bài Tập Tự Luyện
(Các bài tập tương tự như trong bài viết gốc, bạn có thể tham khảo để tự luyện tập và củng cố kiến thức)
Bài viết này đã cung cấp một cái nhìn toàn diện về cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, từ phương pháp cơ bản đến ví dụ minh họa và bài tập vận dụng. Hy vọng rằng, với sự hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian và đạt kết quả cao trong học tập.
