Để giải quyết các bài toán liên quan đến Tính Góc Giữa 2 đường Thẳng trong hình học, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 10, chúng ta cần nắm vững lý thuyết và các phương pháp áp dụng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về chủ đề này, bao gồm phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Phương Pháp Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Có hai phương pháp chính để tính góc giữa 2 đường thẳng, tùy thuộc vào dữ kiện đề bài cho.
Cách 1: Sử dụng VTPT (Vector Pháp Tuyến)
Cho hai đường thẳng d và d’ có VTPT lần lượt là n→(x; y) và n’→(x’; y’). Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d và d’. Ta có công thức:
cosα = |cos( n→; n’→ ) | = |(n→. n’→ ) / (|n→| . |n’→|)|
Cách 2: Sử dụng Hệ Số Góc
Cho hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt là k1 và k2. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:
tgα = |(k1 – k2) / (1 + k1.k2)|
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y – 2 = 0 và (b): 2x – y + 39 = 0.
A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°
Hướng dẫn giải
Đường thẳng (a) có VTPT n→a(3; 1).
Đường thẳng (b) có VTPT n→b(2; -1).
cos(a; b) = |cos( na→; nb→ ) | = |(32 + 1(-1)) / (√(3^2 + 1^2) √(2^2 + (-1)^2))| = |5 / (√10 √5)| = |5 / (5√2)| = √2/2
⇒ ( a; b) = 45°
Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 10x + 5y – 1 = 0 và ∆2 : x – y + 5 = 0.
A. √2/2 B. 3√5/5 C. √10/10 D. 2√5/5
Hướng dẫn:
Vectơ pháp tuyến của ∆1; ∆2 lần lượt là n1→ = (10; 5); n2→ = (1; -1)
cos(∆1; ∆2) = |cos( n1→, n2→ ) | = |(101 + 5(-1)) / (√(10^2 + 5^2) √(1^2 + (-1)^2))| = |5 / (√125 √2)| = |5 / (5√5 * √2)| = 1/√10 = √10/10
Chọn C.
Ví dụ 3: Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .
A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°
Lời giải
Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT n1→(3; 1)
Đường thẳng: 4x – 2y + 10= 0 có VTPT n2→(4; -2)
cos(d1, d2) = |cos( n1→, n2→ ) | = |(34 + 1(-2)) / (√(3^2 + 1^2) √(4^2 + (-2)^2))| = |10 / (√10 √20)| = |10 / (10√2)| = √2/2
⇒ (d1, d2) = 45°
Chọn D.
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y – 7 = 0 và d2: 2x – 4y + 9 = 0.
A. -√5/5 B. √5/5 C. 2√5/5 D. -2√5/5
Lời giải:
Đáp án: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1→ = (1; 2)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2→ = (2; -4)
Gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng ta có:
cosφ = |(12 + 2(-4)) / (√(1^2 + 2^2) √(2^2 + (-4)^2))| = |-6 / (√5 √20)| = |-6 / (√5 2√5)| = |-6 / 10| = 3/5. Vì cos φ > 0 => góc giữa 2 đường thẳng là góc nhọn. Để ý thấy n1→ . n2→* < 0 => cos của góc tạo bởi 2 vecto pháp tuyến phải âm => cos φ = -3/5
Kết quả không trùng với đáp án nào. Kiểm tra lại đề bài.
Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x – 5y + 15 = 0 và ∆2: 5x + 6y – 12 = 0.
A. 90° B. 30° C. 45° D. 60°
Lời giải:
Đáp án: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n1→ = (6; -5)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆2 là n2→ = (5; 6)
Ta có n1→ . n2→ = 65 + (-5)6 = 0 ⇒ d ⊥ ∆2.
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 5x + 2y – 3 = 0 và (b): 2x + y + 7 = 0.
Bài 2. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: 10x + 5y – 1 = 0 và d2: {x = 2t + 3; y = 3 + t}.
Bài 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 5x + 2y – 7 = 0 và 3x – 5y + 6 = 0.
Bài 4. Cho đường thẳng (a): 3x + 2y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 5x + my + 9 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°?
Bài 5. Cho đường thẳng (a): y = 3x + 5 và (b): y = –2x + 4. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách tính góc giữa 2 đường thẳng và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
