Đường cao là một yếu tố quan trọng trong hình học tam giác, được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến diện tích, tính toán khoảng cách và chứng minh hình học. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ các công thức, ví dụ minh họa và các trường hợp đặc biệt để tính Tính đường Cao Ah Của Tam Giác Abc một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.
Các Công Thức Tính Đường Cao AH Tổng Quát
1. Sử dụng công thức Heron và diện tích tam giác
Công thức này hữu ích khi biết độ dài ba cạnh của tam giác.
- Bước 1: Tính nửa chu vi tam giác (p):
p = (a + b + c) / 2 - Bước 2: Tính diện tích tam giác (S) theo công thức Heron:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) - Bước 3: Tính đường cao AH:
AH = (2 * S) / a(với a là độ dài cạnh đáy BC)
Alt: Công thức tính đường cao AH của tam giác ABC thông qua công thức Heron, với a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 7 cm, AC = 5 cm. Tính đường cao AH kẻ từ A xuống BC.
- Nửa chu vi: p = (4 + 7 + 5) / 2 = 8 cm
- Diện tích: S = √(8(8-4)(8-5)(8-7)) = √(8 4 3 * 1) = √96 = 4√6 cm²
- Đường cao AH: AH = (2 * 4√6) / 7 = (8√6) / 7 cm
Tính Đường Cao AH Trong Các Trường Hợp Đặc Biệt
1. Tam giác đều
Trong tam giác đều, tất cả các đường cao đều bằng nhau và có thể được tính trực tiếp từ độ dài cạnh.
AH = (a * √3) / 2(với a là độ dài cạnh của tam giác đều)
Alt: Công thức tính đường cao h của tam giác đều với cạnh a, thể hiện h bằng a nhân căn bậc hai của 3 chia 2.
2. Tam giác vuông
Trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông đóng vai trò là đường cao ứng với cạnh góc vuông còn lại. Đường cao ứng với cạnh huyền có thể được tính bằng công thức sau:
AH = (AB * AC) / BC(với AB, AC là hai cạnh góc vuông và BC là cạnh huyền)
Alt: Hình ảnh minh họa tam giác vuông ABC vuông tại A, có đường cao AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, HC = 16cm. Tính BC, AC, AH.
Alt: Sơ đồ tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH, cho biết độ dài AB và HC, yêu cầu tính BC, AC và AH.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC² = CH.BC = 16.BC
Theo định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:
AB² + AC² = BC²
⇔ 15² + 16.BC = BC²
⇔ BC² – 16.BC – 225 = 0
⇔ BC² – 25.BC + 9.BC – 225 = 0
⇔ BC(BC – 25) + 9(BC – 25) = 0
⇔ (BC – 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9 (loại)
⇒ AC² = 16.BC = 16.25 = 400 ⇒ AC = 20 (cm)
Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
=> AH = AB.AC/BC = 15.20/25 = 12(cm)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.
Alt: Hình vẽ tam giác vuông ABC vuông tại A, với đường trung trực của BC cắt AC tại D và BC tại E.
Giải:
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
BC² = AB² + AC² ( theo định lý Py-ta-go)
BC² = 24² + 32²
BC² = 1600
BC = 40(cm)
EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)
Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:
Có ∠A = ∠E = 90°
∠C chung
=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)
=> AC/EC = AB/ED
=> ED = AB.EC/AC = 15cm
Vậy ED = 15cm
3. Tam giác cân
Trong tam giác cân, đường cao kẻ từ đỉnh cân đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác. Nếu biết độ dài cạnh đáy và cạnh bên, có thể tính đường cao bằng định lý Pytago.
- Bước 1: Xác định nửa độ dài cạnh đáy:
BH = BC / 2(với BC là cạnh đáy) - Bước 2: Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH:
AH = √(AB² - BH²)(với AB là cạnh bên)
Alt: Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc với BC tại H.
Ví dụ: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30(cm), đường cao AH = 20(cm). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.
Giải: Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30(cm)
⇒ BH = CH = 15(cm).
Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:
Alt: Công thức tính độ dài cạnh AC của tam giác cân ABC bằng căn bậc hai của tổng bình phương AH và BH.
Kẻ BK ⊥ AC, giờ ta phải tính BK = ?
Ta có:
Alt: Diện tích tam giác ABC bằng một nửa tích của AH và BC, công thức diện tích tam giác cơ bản.
Mặt khác
Alt: Diện tích tam giác ABC bằng một nửa tích của BK và AC, sử dụng đường cao BK.
Do đó, ta có ⇔
Alt: Công thức tính BK bằng (2 nhân 300) chia 25, kết quả là 24 cm.
Định Nghĩa và Tính Chất Quan Trọng Của Đường Cao
- Định nghĩa: Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện.
- Tính chất: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm, gọi là trực tâm của tam giác.
Việc nắm vững các công thức và tính chất liên quan đến tính đường cao AH của tam giác ABC sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Hy vọng bài viết này cung cấp thông tin hữu ích và dễ hiểu cho bạn.