Hình trụ là một hình học không gian quan trọng, xuất hiện nhiều trong cả lý thuyết và ứng dụng thực tế. Việc hiểu rõ cách tính diện tích xung quanh hình trụ là kiến thức nền tảng giúp bạn giải quyết nhiều bài toán và ứng dụng liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức tính diện tích xung quanh hình trụ, các công thức liên quan khác, cùng với các bài tập minh họa chi tiết để bạn nắm vững kiến thức.
Hình Trụ Là Gì?
Hình trụ được tạo thành khi quay một hình chữ nhật quanh một trong các cạnh của nó. Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy gọi là chiều cao của hình trụ.
Trong thực tế, chúng ta dễ dàng bắt gặp các vật thể có hình dạng hình trụ như lon nước ngọt, ống cống, cột nhà,…
Các Công Thức Quan Trọng Liên Quan Đến Hình Trụ
Để giải quyết các bài toán về hình trụ, bạn cần nắm vững các công thức sau:
Diện Tích Xung Quanh Hình Trụ
Diện tích xung quanh hình trụ là diện tích bề mặt bao quanh hình trụ, không bao gồm diện tích hai đáy. Để tính diện tích xung quanh hình trụ, ta lấy chu vi đáy nhân với chiều cao của hình trụ.
Công thức:
Sxq = 2πrh
Trong đó:
- Sxq: Diện tích xung quanh hình trụ
- π (pi): Hằng số Pi, xấp xỉ bằng 3.14159
- r: Bán kính đáy của hình trụ
- h: Chiều cao của hình trụ
Diện Tích Toàn Phần Hình Trụ
Diện tích toàn phần của hình trụ bao gồm diện tích xung quanh và diện tích của hai mặt đáy.
Công thức:
Stp = 2πr² + 2πrh
Trong đó:
- Stp: Diện tích toàn phần hình trụ
- π (pi): Hằng số Pi, xấp xỉ bằng 3.14159
- r: Bán kính đáy của hình trụ
- h: Chiều cao của hình trụ
Thể Tích Hình Trụ
Thể tích của hình trụ được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
Công thức:
V = πr²h
Trong đó:
- V: Thể tích hình trụ
- π (pi): Hằng số Pi, xấp xỉ bằng 3.14159
- r: Bán kính đáy của hình trụ
- h: Chiều cao của hình trụ
Bài Tập Về Hình Trụ
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức trên, hãy cùng xem xét một số bài tập ví dụ sau:
Bài 1: Một hình trụ có chu vi đáy là 12π cm và chiều cao là 8 cm. Tính thể tích của hình trụ.
Giải:
Chu vi đáy: C = 2πr = 12π => r = 6 cm
Thể tích hình trụ: V = πr²h = π 6² 8 = 288π cm³
Bài 2: Tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy là 3cm và chiều cao là 7cm.
Giải:
Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh = 2 π 3 * 7 = 42π cm²
Bài 3: Một hình trụ có diện tích toàn phần là 150π cm² và bán kính đáy là 5 cm. Tính chiều cao của hình trụ.
Giải:
Diện tích toàn phần: Stp = 2πr² + 2πrh = 150π
=> 2π 5² + 2π 5 * h = 150π
=> 50π + 10πh = 150π
=> 10πh = 100π
=> h = 10 cm
Bài 4: Một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h. Nếu tăng chiều cao lên gấp đôi và giảm bán kính đáy đi một nửa thì diện tích xung quanh hình trụ thay đổi như thế nào?
Giải:
Chiều cao mới: h’ = 2h
Bán kính mới: r’ = r/2
Diện tích xung quanh hình trụ mới: Sxq’ = 2πr’h’ = 2π (r/2) (2h) = 2πrh = Sxq
Vậy diện tích xung quanh hình trụ không đổi.
Bài 5: Một hộp sữa hình trụ không nắp có chiều cao 15cm và đường kính đáy 10cm. Tính diện tích vật liệu cần để làm hộp sữa (diện tích toàn phần không nắp).
Giải:
Bán kính đáy: r = d/2 = 10/2 = 5 cm
Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh = 2 π 5 15 = 150π cm²
Diện tích đáy: Sd = πr² = π 5² = 25π cm²
Diện tích toàn phần không nắp: Stp = Sxq + Sd = 150π + 25π = 175π cm²
Bài 6: Cho một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao là h. Nếu tăng chiều cao hình trụ lên ba lần đồng thời giảm bán kính ba lần thì diện tích xung quanh hình trụ thay đổi thế nào?
Giải:
Chiều cao mới h’ = 3h
Bán kính đáy mới R’ = R/3
Diện tích xung quanh hình trụ mới : Sxq = 2πR’h’ = 2π(R/3)(3h) = 2πRh
Vậy diện tích xung quanh không đổi
Bài 7: Cho một hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao là h. Nếu giảm chiều cao 4 lần và tăng bán kính 2 lần thì diện tích xung quanh hình trụ thay đổi như thế nào?
Giải:
Chiều cao mới: h’ = h/4
Bán kính đáy mới: R’ = 2R
Diện tích xung quanh mới Sxq’ = 2πR’h’ = 2π(2R)(h/4) = πRh.
Diện tích xung quanh ban đầu Sxq = 2πRh
Vậy diện tích xung quanh giảm đi một nửa.
Bài 8: Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ, biết rằng khi cắt hình trụ bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm, ta được một thiết diện là hình vuông có diện tích 16cm2.
Giải:
Thiết diện là hình vuông có diện tích 16cm2 => cạnh hình vuông = chiều cao hình trụ = 4cm.
Gọi bán kính đáy hình trụ là R. Ta có (R^2) = 3^2 + (4/2)^2 => R = √13 cm
Thể tích hình trụ: V = ΠR2h = Π(√13)2.4 = 52Π (cm3)
Diện tích xung quanh hình trụ : Sxq = 2Πrh = 2Π√13.4 = 8√13 Π (cm2)
Kết Luận
Nắm vững công thức tính diện tích xung quanh hình trụ và các công thức liên quan là rất quan trọng trong học tập và ứng dụng thực tế. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và bài tập để bạn tự tin giải quyết các bài toán về hình trụ. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo hơn nhé!
