Công thức Tính Diện Tích Thiết Diện hình nón là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến hình học không gian. Việc nắm vững các công thức và phương pháp tính toán sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài tập và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về cách tính diện tích thiết diện hình nón, cùng với các ví dụ minh họa dễ hiểu.
Các Trường Hợp Thiết Diện Hình Nón Thường Gặp
Khi một hình nón bị cắt bởi một mặt phẳng, ta sẽ có các trường hợp thiết diện khác nhau. Mỗi trường hợp sẽ có công thức tính diện tích riêng. Dưới đây là ba trường hợp phổ biến nhất:
- Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của hình nón: Thiết diện tạo thành là một tam giác cân.
- Thiết diện đi qua trục của hình nón: Thiết diện tạo thành là một tam giác cân, thường gặp là tam giác đều hoặc tam giác vuông cân.
- Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục: Thiết diện tạo thành là một hình tròn.
1. Thiết Diện Cắt Bởi Mặt Phẳng Qua Đỉnh
Trong trường hợp này, mặt phẳng cắt hình nón đi qua đỉnh của nón, tạo ra một tam giác cân. Để tính diện tích thiết diện, ta cần xác định chiều cao và cạnh đáy của tam giác cân này.
Alt: Hình ảnh minh họa thiết diện tam giác cân SAB khi mặt phẳng cắt qua đỉnh S của hình nón.
Giả sử thiết diện là tam giác SAB cân tại S, và H là trung điểm của AB. Khi đó, góc giữa thiết diện và mặt đáy là góc SHI (với I là tâm của đường tròn đáy). Nếu góc SHI = α, ta có:
- SI = h (chiều cao của hình nón)
- IH = r (bán kính đáy của hình nón)
Khi đó:
- AH = IH tan(α) = r tan(α)
- Diện tích tam giác SAB là: SSAB = SH.AH = (1/2) AB.SH
Alt: Biểu thức toán học thể hiện công thức tính độ dài cạnh AH và diện tích tam giác SAB trong thiết diện hình nón qua đỉnh.
2. Thiết Diện Đi Qua Trục
Khi thiết diện đi qua trục của hình nón, nó sẽ tạo thành một tam giác cân. Đặc biệt, nếu tam giác này là tam giác đều hoặc tam giác vuông cân, việc tính toán sẽ trở nên đơn giản hơn.
Alt: Hình ảnh minh họa thiết diện tam giác cân SAB khi mặt phẳng cắt đi qua trục hình nón.
Diện tích thiết diện SSAB = (1/2)SI.AB = h.r
Trong đó:
- SI = h (chiều cao hình nón)
- AB = 2r (đường kính đáy hình nón)
Alt: Công thức toán học tính diện tích tam giác SAB là thiết diện đi qua trục của hình nón, sử dụng chiều cao h và bán kính r.
3. Thiết Diện Vuông Góc Với Trục
Khi mặt phẳng cắt vuông góc với trục của hình nón, thiết diện tạo thành sẽ là một hình tròn. Để tính diện tích hình tròn này, ta cần xác định bán kính của nó.
Alt: Hình ảnh mô tả thiết diện hình tròn khi mặt phẳng cắt vuông góc với trục của hình nón.
Giả sử mặt phẳng (P) vuông góc với trục và cách đỉnh một khoảng h’. Khi đó, thiết diện là một hình tròn có bán kính r’.
Ta có hai tam giác đồng dạng SI’A’ và SIA. Từ đó suy ra:
Alt: Biểu thức toán học thể hiện mối quan hệ giữa bán kính r’, r và chiều cao h’, h để tính diện tích thiết diện hình tròn.
Do đó, diện tích thiết diện là: S = πr’2
Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức trên, chúng ta sẽ cùng xem xét một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh a. Tính diện tích thiết diện đó.
Alt: Hình vẽ minh họa thiết diện tam giác vuông cân SAB cạnh a đi qua trục của hình nón, ví dụ 1.
Lời giải:
Thiết diện là tam giác SAB vuông cân tại S, có SA = SB = a.
Diện tích tam giác SAB là: SSAB = (1/2) SA.SB = (1/2) a2
Alt: Công thức toán học tính diện tích thiết diện tam giác vuông cân SAB cạnh a, kết quả là a bình phương chia 2.
Ví dụ 2: Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt đáy góc 60°. Tính diện tích thiết diện được tạo thành.
Alt: Hình vẽ minh họa thiết diện tam giác SAB qua đỉnh của hình nón, tạo góc 60 độ với mặt đáy, ví dụ 2.
Lời giải:
Thiết diện tạo thành là tam giác SAB.
Gọi H là trung điểm của AB. Ta chứng minh được góc SHI = 60°.
=> IH = SI/tan(60°) = 2a/√3 = (2a√3)/3 ; SH = 2a
Tam giác IAH vuông tại H nên AH = √(AI² – IH²) = √(a² – (4a²/3)) = a
Suy ra SSAB = SH.AH = 2a²
Ví dụ 3: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao a. Mặt phẳng (P) qua S và cắt đáy tại A và B sao cho AB= a√3. Khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P) là a/2. Tính diện tích thiết diện được tạo thành.
Alt: Hình vẽ minh họa thiết diện tam giác SAB qua đỉnh S, AB = a√3, khoảng cách từ tâm đáy đến (P) là a/2, ví dụ 3.
Lời giải:
Thiết diện là tam giác SAB
Gọi H là trung điểm AB.
Trong mp (SHI) kẻ IK ⊥ SH => d(I(SAB)) = IK = a/2
Ta có: 1/IK² = 1/SI² + 1/IH² => IH=a
=> SH = √(SI² + IH²) = a√2
Vậy diện tích thiết diện là S= 1/2 SH.AB= (a²√6)/2
Kết Luận
Việc nắm vững công thức và phương pháp tính diện tích thiết diện hình nón là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian. Bằng cách hiểu rõ các trường hợp thiết diện khác nhau và áp dụng đúng công thức, học sinh có thể tự tin chinh phục các bài toán khó và đạt kết quả cao trong học tập. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và cần thiết.
