Bài viết này cung cấp đầy đủ các công thức và phương pháp giúp bạn Tính Diện Tích Tam Giác Abc một cách chính xác và hiệu quả. Chúng ta sẽ đi từ những công thức cơ bản đến các bài tập vận dụng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan.
1. Các Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác ABC Cơ Bản
Để tính diện tích tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng nhiều công thức khác nhau, tùy thuộc vào dữ kiện bài toán cho. Dưới đây là một số công thức phổ biến nhất:
-
Công thức 1: Sử dụng chiều cao và cạnh đáy
S = (1/2) a ha = (1/2) b hb = (1/2) c hc
Trong đó:
Slà diện tích tam giáca,b,clà độ dài các cạnh của tam giácha,hb,hclà độ dài các đường cao tương ứng với các cạnha,b,c.
ALT: Hình vẽ tam giác ABC với cạnh đáy a và chiều cao ha minh họa công thức tính diện tích
-
Công thức 2: Sử dụng hai cạnh và góc xen giữa
S = (1/2) ab sin(C) = (1/2) bc sin(A) = (1/2) ca sin(B)
Trong đó:
A,B,Clà các góc của tam giáca,b,clà độ dài các cạnh đối diện với các gócA,B,Ctương ứng.
-
Công thức 3: Sử dụng công thức Heron (khi biết ba cạnh)
S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)]
Trong đó:
plà nửa chu vi của tam giác: p = (a + b + c) / 2
-
Công thức 4: Sử dụng bán kính đường tròn ngoại tiếp
S = (abc) / (4R)
Trong đó:
Rlà bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
-
Công thức 5: Sử dụng bán kính đường tròn nội tiếp
S = p * r
Trong đó:
rlà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABCplà nửa chu vi của tam giác: p = (a + b + c) / 2
2. Ví Dụ Minh Họa và Bài Tập Vận Dụng
Để hiểu rõ hơn cách áp dụng các công thức trên, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ và bài tập sau:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AC = 3, AB = 5, cosA = -0.6. Hãy tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Trước hết, ta cần tìm sinA. Vì sin²A + cos²A = 1, suy ra sin²A = 1 – (-0.6)² = 0.64. Do A là góc trong tam giác nên sinA > 0, vậy sinA = 0.8.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC khi biết hai cạnh và góc xen giữa:
S = (1/2) AB AC sinA = (1/2) 5 3 0.8 = 6
Vậy, diện tích tam giác ABC là 6 đơn vị diện tích.
ALT: Tam giác ABC minh họa ví dụ 1 với cạnh AB=5, AC=3 và góc A có cosA = -0.6
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A = 30°, góc B = 75° và cạnh AC = 4. Tính các cạnh còn lại và tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Đầu tiên, tính góc C: C = 180° – A – B = 180° – 30° – 75° = 75°. Vậy tam giác ABC cân tại A (vì B = C). Suy ra AB = AC = 4.
Để tính diện tích tam giác ABC, ta cần tìm cạnh BC. Sử dụng định lý sin:
BC / sinA = AC / sinB => BC = (AC sinA) / sinB = (4 sin30°) / sin75° ≈ 2.07
Diện tích tam giác ABC là: S = (1/2) AC AB sinA = (1/2) 4 4 sin30° = 4
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r = 5cm. Biết BC = 7cm, CA = 8cm, AB = 10cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức S = p * r, ta cần tính nửa chu vi p = (7 + 8 + 10) / 2 = 12.5 cm.
Vậy diện tích tam giác ABC là: S = 12.5 * 5 = 62.5 cm².
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; -2), B(-2; 3), C(0; 4). Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Để tính diện tích tam giác ABC khi biết tọa độ ba đỉnh, ta sử dụng công thức:
S = (1/2) |(x_B – x_A)(y_C – y_A) – (x_C – x_A)(y_B – y_A)|
Thay số vào công thức, ta được:
S = (1/2) |(-2 – 1)(4 – (-2)) – (0 – 1)(3 – (-2))|
S = (1/2) |(-3)(6) – (-1)(5)|
S = (1/2) |-18 + 5|
S = (1/2) |-13|
S = 6.5
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 15 và AB = 8. Tính diện tích, chu vi và đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A, diện tích tam giác là: S = (1/2) AB AC = (1/2) 8 15 = 60.
Sử dụng định lý Pythagoras để tìm BC: BC² = AB² + AC² = 8² + 15² = 289 => BC = 17.
Chu vi tam giác ABC là: C = AB + AC + BC = 8 + 15 + 17 = 40.
Gọi ha là đường cao hạ từ A. Ta có: S = (1/2) BC ha => ha = (2 S) / BC = (2 60) / 17 ≈ 7.06.
3. Bài Tập Tự Luyện
- Tam giác ABC có AB = 2, AC = 5, góc BAC = 60°. Tính diện tích tam giác ABC.
- Tam giác ABC có AB = 21, AC = 17, BC = 10. Tính diện tích của tam giác ABC.
- Tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 6 cm.
- Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C. Tính diện tích của tam giác mới được tạo thành.
- Tam giác ABC có BC = a và AC = b. Tìm giá trị góc C để diện tích tam giác ABC là lớn nhất.
Hy vọng với những công thức và bài tập trên, bạn đã nắm vững cách tính diện tích tam giác ABC trong mọi trường hợp. Chúc bạn học tốt!
