Đường trung tuyến là một trong những yếu tố quan trọng trong hình học tam giác. Đặc biệt, trong tam giác vuông, đường trung tuyến có những tính chất đặc biệt và hữu ích. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về Tính Chất đường Trung Tuyến Trong Tam Giác Vuông Lớp 8, bao gồm lý thuyết, chứng minh và các bài tập áp dụng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
1. Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác
Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, và ba đường trung tuyến này đồng quy tại một điểm, gọi là trọng tâm của tam giác.
2. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có một tính chất vô cùng quan trọng:
- Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Nói cách khác, nếu tam giác ABC vuông tại A và AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, thì AM = BC/2.
3. Chứng minh tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Ta cần chứng minh AM = BC/2.
Hình ảnh minh họa chứng minh tính chất: Trong tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM bằng một nửa cạnh huyền BC.
Chứng minh:
- Vẽ tia đối: Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA.
- Xét các tam giác: Xét tam giác BMD và tam giác CMA.
- MB = MC (M là trung điểm của BC).
- BMD^ = CMA^ (hai góc đối đỉnh).
- MD = MA (theo cách dựng).
- => Tam giác BMD = Tam giác CMA (c.g.c)
- Suy ra các yếu tố bằng nhau:
- BD = CA (hai cạnh tương ứng)
- DBM^ = ACM^ (hai góc tương ứng). Mà DBM^ và ACM^ ở vị trí so le trong nên BD // AC.
- Xét góc vuông: Vì BAC^ = 90° và BD // AC nên ABD^ = 90°.
- Xét tam giác CAB và DBA:
- BAC^ = ABD^ = 90°
- AB là cạnh chung
- AC = BD (chứng minh trên)
- => Tam giác CAB = Tam giác DBA (hai cạnh góc vuông)
- Kết luận:
- BC = AD (hai cạnh tương ứng)
- Mà AM = AD/2 (do MD = MA)
- Vậy AM = BC/2 (điều phải chứng minh).
4. Ứng dụng của tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tính chất này được ứng dụng rộng rãi trong giải toán hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến:
- Tính độ dài: Biết độ dài cạnh huyền, có thể dễ dàng tính được độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, và ngược lại.
- Chứng minh các yếu tố hình học: Sử dụng tính chất để chứng minh các tam giác bằng nhau, các đường thẳng song song, vuông góc,…
- Giải các bài toán thực tế: Ứng dụng vào các bài toán đo đạc, thiết kế,…
5. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Giải:
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có:
AM = BC/2 = 10/2 = 5cm.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM = 6cm. Tính độ dài cạnh huyền BC.
Giải:
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có:
BC = 2 AM = 2 6 = 12cm.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Biết góc MAC = 30 độ. Tính góc ABC.
Giải:
Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AM = MC. Suy ra tam giác MAC cân tại M. Do đó, góc MCA = góc MAC = 30 độ.
Trong tam giác vuông ABC, góc ABC + góc ACB = 90 độ. Vậy góc ABC = 90 độ – góc ACB = 90 độ – 30 độ = 60 độ.
6. Bài tập tự luyện
- Cho tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài AM.
- Cho tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
- Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Biết góc ABC = 60 độ, AM = a. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a.
- Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và đường trung tuyến AM (H thuộc BC, M thuộc BC). Chứng minh rằng AM là phân giác của góc BAH.
7. Tổng kết
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông là một kiến thức quan trọng và hữu ích trong chương trình hình học lớp 8. Việc nắm vững lý thuyết, hiểu rõ cách chứng minh và luyện tập các bài tập áp dụng sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán liên quan và phát triển tư duy logic. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh những kiến thức và kỹ năng cần thiết để học tốt phần kiến thức này.
